5.03 Действия над цифрами числа

Решение программой:

В этой задаче нам необходимо найти наименьшее четырёхзначное число, которое после шести последовательных преобразований по правилам автомата даст число M, у которого сумма цифр равна 31, а третья цифра равна 8. Сначала мы перебираем все возможные четырёхзначные числа с помощью цикла for i in range(1000, 10000), чтобы проверить каждое число на соответствие условиям. Для удобной работы с цифрами мы преобразуем число в список отдельных цифр через list(map(int, str(i))). Это позволяет нам обращаться к каждой цифре по индексу и изменять её значение в процессе итераций.

Далее мы выполняем последовательные n = 6 преобразований. Каждое преобразование состоит из увеличения последней цифры на единицу и перестановки этой последней цифры в начало числа. Перед увеличением последней цифры мы проверяем, не равна ли она 9, чтобы избежать переполнения: если последняя цифра равна 9, преобразование прерывается и число считается недействительным для данного i. Если переполнения нет, мы увеличиваем последнюю цифру на 1 (n[-1] += 1) и переставляем её в начало списка через срез [n[-1]] + n[:-1]. Для контроля количества успешных преобразований мы используем счётчик counter, увеличивая его на единицу при каждом успешном шаге.

После завершения шести итераций (если ни одно преобразование не вызвало переполнения) мы проверяем условия задачи: сумма всех цифр числа должна быть равна 31 (sum(n) == 31), третья цифра числа должна быть равна 8 (n[2] == 8), и все 6 итераций должны были быть успешными (counter == 6). Если все эти условия выполняются, мы выводим найденное число i с помощью print(i) и прерываем цикл через break, так как нас интересует именно наименьшее число, удовлетворяющее условиям.

for i in range(1000, 10000):  # Перебираем все четырёхзначные числа от 1000 до 9999 включительно
    n = list(map(int, str(i)))  # Преобразуем число i в список отдельных цифр для удобной работы с ними
    counter = 0  # Инициализируем счётчик успешных итераций без переполнения
    for j in range(6):  # Выполняем 6 последовательных преобразований числа
        if n[-1] == 9:  # Проверяем, равна ли последняя цифра 9, чтобы избежать переполнения
            break  # Если переполнение возможно, прекращаем преобразования
        else:
            n[-1] += 1  # Увеличиваем последнюю цифру на единицу
            n = [n[-1]] + n[:-1]  # Переставляем последнюю цифру в начало списка, остальные сдвигаются вправо
            counter += 1  # Увеличиваем счётчик успешных преобразований
    if sum(n) == 31 and n[2] == 8 and counter == 6:
        # Проверяем все условия задачи: сумма цифр, третья цифра и успешные 6 итераций
        print(i)  # Выводим найденное число, если все условия выполняются
        break  # Прерываем цикл, так как наименьшее подходящее число найдено

Решение руками:

Запишем исходное число в таком виде: .

Если , то новое число будет представлено в виде . Заметим, что сумма цифр нового числа на больше чем сумма цифр исходного числа . Тогда сумма цифр исходного числа есть . Также заметим, что если на третьей позиции в числе стоит , то верно , откуда ; Значит, необходимо подобрать такие , чтобы их сумма была равна , и число было минимально при этом а Подбор можно осуществить, постепенно уменьшая , начиная с 8, и подбирая и под это значение так, чтобы сумма была равна 18, и при это не было переполнения разрядов. Таким образом, первое значение , у которого а , и нет переполнения разрядов, будет равно (число ). Так как мы перебирали снизу и ничего улучшить уже нельзя (переставить цифры, например, чтобы уменьшить), это и есть ответ.