5.03 Действия над цифрами числа

Решение прогой

В этой задаче нам необходимо найти наименьшее пятизначное число, которое после обработки по правилам автомата даст число 72128. Для этого мы используем цикл for i in range(10 ** 4, 10 ** 5), который перебирает все пятизначные числа начиная с 10000 и заканчивая 99999 включительно, чтобы при первом успешном совпадении найденное число сразу было наименьшим. Для удобства работы с цифрами каждого числа мы преобразуем текущее число в строку с помощью x = str(i). Это позволяет использовать индексы строки: 0 — первая цифра, 1 — вторая, 2 — третья, 3 — четвёртая, 4 — пятая, и легко извлекать отдельные цифры для вычислений.

Далее мы вычисляем две суммы квадратов цифр: сумма sumOddPos складывает квадраты цифр на нечётных позициях (1-я, 3-я и 5-я цифры), что реализуется через выражение int(x[0]) ** 2 + int(x[2]) ** 2 + int(x[4]) ** 2, а сумма sumEvenPos складывает квадраты цифр на чётных позициях (2-я и 4-я цифры) с помощью int(x[1]) ** 2 + int(x[3]) ** 2. После получения этих сумм формируем новое число, записывая сначала меньшую сумму, затем большую, без разделителей, с помощью конструкции str(min(sumOddPos, sumEvenPos)) + str(max(sumOddPos, sumEvenPos)). Полученный результат преобразуем обратно в строку, чтобы его можно было напрямую сравнивать с требуемым числом "72128".

На последнем шаге проверяем, совпадает ли сформированное число с целевым значением "72128". Если условие выполняется, мы выводим текущее число i с помощью print(i) и прерываем цикл через break, так как нам нужно именно наименьшее число, удовлетворяющее условию.

for i in range(10 ** 4, 10 ** 5):  # Перебираем все пятизначные числа от 10000 до 99999 включительно
    x = str(i)  # Преобразуем число в строку, чтобы можно было обратиться к отдельным цифрам по индексам
    sumOddPos = int(x[0]) ** 2 + int(x[2]) ** 2 + int(x[4]) ** 2
    # Складываем квадраты цифр на нечётных позициях (1, 3, 5)
    sumEvenPos = int(x[1]) ** 2 + int(x[3]) ** 2
    # Складываем квадраты цифр на чётных позициях (2, 4)
    num = str(min(sumOddPos, sumEvenPos)) + str(max(sumOddPos, sumEvenPos))
    # Формируем новое число: сначала меньшая сумма, затем большая, без разделителей
    if num == "72128":  # Проверяем, совпадает ли полученное число с требуемым результатом
        print(i)  # Если совпадает, выводим текущее число
        break  # Прерываем цикл, так как найдено наименьшее число, удовлетворяющее условиям

Решение аналитически

Сумма квадратов чисел принадлежит промежутку [0,243], а сумма квадратов чисел промежутку [0,162]. В соответствие с этими правилами число 72128 разбивается на числа и . Всего на нечетных позициях в пятизначном числе стоит цифры, на четных — цифры.

Определим сначала, какие цифры могут стоять на четных позициях. Это можно сделать с помощью перебора всех комбинаций x и y, которые являются решениями уравнения Потенциально самое большое значение наименьшего разряда (а соответственно и самое маленькое значение наибольшего разряда) может быть в решении уравнения с суммой квадратов неизвестных, равных наибольшему из найденных ранее чисел, т.е. . Тогда положим, что чтобы в уравнении для цифр на нечетных позициях можно было задать более высокую верхнюю границу и в перспективе поставить самую большую цифру в разряд единиц, а самую маленькую - в разряд десятков тысяч. В текущем же уравнении для цифр на четных позициях оба числа x и y не могут превышать значения 8. Подходящей (и единственной) комбинацией является {6, 6}.

Теперь найдем комбинацию цифр, которые должны стоять на нечетных позициях. Для этого положим три различные переменные в новое уравнение:

Рассмотрим случай . Целых решений для в уравнении нет, поскольку не является делителем .

Далее рассмотрим Необходимо подобрать такое значение , чтобы полуразность и квадрата была квадратом какого-либо натурального числа. Перебором приходим к выводу, что если то

Мы нашли частное решение 86860, рассмотрим последний случай, когда и различны между собой.

Будем брать и таким образом искать случай, при котором можно будет получить такую сумму квадратов что одна из переменных или была бы меньше , а далее и меньше найденных в процессе цифр.

Если тогда . Подходящих решений нет.

Если тогда . Этот вариант уже был рассмотрен ранее.

Если тогда . Подходящих решений нет.

Далее вплоть до мы так и не найдем подходящих решений.

В таком случае поменяем константы в уравнениях для цифр на четных и нечетных позициях. Пусть для четных а для нечетных . Пройдемся заново по тому же алгоритму. Для четных получим комбинацию {8,8}, а для нечетных {8,2,2}.

Таким образом, мы нашли наименьшее число .