5.03 Действия над цифрами числа - Каталог заданий по ЕГЭ

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 61#7170Максимум баллов за задание: 1

Автомат получает на вход четырехзначное число $k$ . По этому числу строится новое число $M$ по таким правилам:

1. Последняя цифра числа увеличивается на единицу;

2. Последняя цифра числа переставляется в начало числа;

3. Пункты $1 − 2$ повторяются $n$ раз.

4. Вывод получившегося числа $M$ .

Примечание: В процессе работы алгоритма не должно происходить ситуаций переполнения (когда последняя цифра числа 9 и она увеличивается на единицу)

Пример: при исходных числах $k = 3672$ и $n = 3$ автомат выведет число $7833$ .

Укажите наибольшее число $k$ такое, что при $n = 5$ сумма цифр числа $M$ равна 17, и третья цифра числа $M$ равна $5$ .

Показать ответ и решение

Решение программой:

В этой задаче мы ищем наибольшее четырёхзначное число k, которое после пяти повторений заданного преобразования превращается в число M с суммой цифр, равной 17, и третьей цифрой равной 5. Для этого мы перебираем все четырёхзначные числа от 1000 до 9999 включительно с помощью цикла for i in range(1000, 10000). Для каждого числа i мы сначала преобразуем его в список цифр через list(map(int, str(i))), чтобы можно было легко изменять отдельные цифры и переставлять их в нужном порядке. Далее мы выполняем пять итераций преобразования числа: на каждой итерации проверяем, равна ли последняя цифра 9, чтобы не допустить переполнения; если последняя цифра меньше 9, мы увеличиваем её на единицу (n[-1] += 1) и переставляем её в начало списка, смещая остальные цифры вправо. Для перестановки используется генератор списка [n[i - 1] for i in range(4)], который создаёт новый порядок цифр: последняя цифра становится первой, а остальные сдвигаются на одну позицию вправо. Одновременно мы ведём счётчик counter, фиксирующий количество успешно выполненных итераций без переполнения. После пяти итераций мы проверяем сразу три условия: сумма цифр числа M равна 17 (sum(n) == 17), третья цифра равна 5 (n[2] == 5) и все пять итераций прошли без переполнения (counter == 5). Если все условия выполняются одновременно, выводим исходное число i с помощью print(i). Такой способ позволяет перебрать все возможные четырёхзначные числа и найти наибольшее число k, удовлетворяющее указанным условиям.

for i in range(1000, 10000):  # Перебираем все четырёхзначные числа от 1000 до 9999 включительно
    n = list(map(int, str(i)))  # Преобразуем число i в список его цифр, чтобы можно было легко изменять отдельные цифры
    counter = 0  # Счётчик успешных итераций без переполнения
    for j in range(5):  # Выполняем 5 итераций преобразования числа
        if n[-1] == 9:  # Проверяем, равна ли последняя цифра 9, чтобы не допустить переполнения
            break  # Если последняя цифра равна 9, прекращаем преобразования
        else:
            n[-1] += 1  # Увеличиваем последнюю цифру числа на 1
            n = [n[i - 1] for i in range(4)]  # Переставляем последнюю цифру в начало списка, остальные цифры сдвигаются вправо
            counter += 1  # Увеличиваем счётчик успешных итераций
    if sum(n) == 17 and n[2] == 5 and counter == 5:  # Проверяем все условия: сумма цифр, третья цифра и количество успешных итераций
        print(i)  # Если условия выполнены, выводим число i

Решение руками:

Запишем исходное число k в таком виде: $x1 : x2 : x3 : x4$ .

Если $n = 5$ , то новое число будет представлено в виде $(x4 + 2 ) : (x1 + 1) : (x2 + 1) : (x3 + 1 )$ . Заметим, что сумма цифр нового числа $M$ на $n$ больше чем сумма цифр исходного числа $k$ . Тогда сумма цифр исходного числа $k$ есть $12$ . Также заметим, что если на третьей позиции в числе $M$ стоит $5$ , то верно $x + 1 = 5 2$ , откуда $x = 4 2$ ; Значит, необходимо подобрать такие $x ,x ,x 1 3 4$ , чтобы их сумма была равна $8$ , и число $k$ было максимально. При этом $x1,x3 < 9,$ а $x4 < 8.$ Такое число $8400$ .

Ответ: 8400

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 62#7171Максимум баллов за задание: 1

Автомат получает на вход четырехзначное число $k$ . По этому числу строится новое число $M$ по таким правилам:

1. Последняя цифра числа увеличивается на единицу;

2. Последняя цифра числа переставляется в начало числа;

3. Пункты $1 − 2$ повторяются $n$ раз.

4. Вывод получившегося числа $M$ .

Примечание: В процессе работы алгоритма не должно происходить ситуаций переполнения (когда последняя цифра числа 9 и она увеличивается на единицу)

Пример: при исходных числах $k = 3672$ и $n = 3$ автомат выведет число $7833$ .

Укажите наибольшее число $k$ такое, что при $n = 5$ сумма цифр числа $M$ равна 22, и третья цифра числа $M$ равна $1$ .

Показать ответ и решение

Решение программой:

В этой задаче мы ищем наибольшее четырёхзначное число k, которое после пяти повторений указанного преобразования превращается в число M с суммой цифр, равной 22, и третьей цифрой равной 1. Для этого мы перебираем все четырёхзначные числа от 1000 до 9999 включительно с помощью цикла for i in range(1000, 10000). Каждое число i мы преобразуем в список отдельных цифр через list(map(int, str(i))), чтобы можно было легко изменять отдельные цифры и переставлять их в нужном порядке. Переменная counter используется для подсчёта количества успешных итераций преобразования без переполнения.

Далее выполняются пять итераций преобразования числа: на каждой итерации проверяем, равна ли последняя цифра 9, чтобы избежать переполнения; если последняя цифра меньше 9, мы увеличиваем её на единицу с помощью n[-1] += 1 и переставляем её в начало списка, сдвигая остальные цифры вправо. Для перестановки используется генератор списка [n[i - 1] for i in range(4)], который создаёт новый порядок цифр: последняя цифра становится первой, а остальные сдвигаются на одну позицию вправо. Одновременно увеличиваем счётчик counter на 1, фиксируя успешную итерацию. После всех пяти итераций проверяем сразу три условия: сумма цифр нового числа равна 22 (sum(n) == 22), третья цифра равна 1 (n[2] == 1) и все пять итераций были успешными (counter == 5). Если все условия выполнены, выводим исходное число i с помощью print(i). Такой подход гарантирует, что мы переберём все возможные варианты и найдём наибольшее число k, удовлетворяющее заданным условиям.

for i in range(1000, 10000):  # Перебираем все четырёхзначные числа от 1000 до 9999 включительно
    n = list(map(int, str(i)))  # Преобразуем число i в список его цифр, чтобы можно было легко изменять отдельные цифры
    counter = 0  # Счётчик успешных итераций без переполнения
    for j in range(5):  # Выполняем 5 итераций преобразования числа
        if n[-1] == 9:  # Проверяем, равна ли последняя цифра 9, чтобы не допустить переполнения
            break  # Если последняя цифра равна 9, прекращаем преобразования
        else:
            n[-1] += 1  # Увеличиваем последнюю цифру числа на 1
            n = [n[i - 1] for i in range(4)]  # Переставляем последнюю цифру в начало списка, остальные цифры сдвигаются вправо
            counter += 1  # Увеличиваем счётчик успешных итераций
    if sum(n) == 22 and n[2] == 1 and counter == 5:  # Проверяем все условия: сумма цифр, третья цифра и количество успешных итераций
        print(i)  # Если условия выполнены, выводим число i

Решение руками:

Запишем исходное число k в таком виде: $x1 : x2 : x3 : x4$ .

Если $n = 5$ , то новое число будет представлено в виде $(x4 + 2 ) : (x1 + 1) : (x2 + 1) : (x3 + 1 )$ . Заметим, что сумма цифр нового числа $M$ на $n$ больше чем сумма цифр исходного числа $k$ . Тогда сумма цифр исходного числа $k$ есть $17$ . Также заметим, что если на третьей позиции в числе $M$ стоит $1$ , то верно $x + 1 = 1 2$ , откуда $x = 0 2$ ; Значит, необходимо подобрать такие $x ,x ,x 1 3 4$ , чтобы их сумма была равна $17$ , и число $k$ было максимально. При этом $x1,x3 < 9,$ а $x4 < 8.$ Такое число $8081$ .

Ответ: 8081

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 63#7172Максимум баллов за задание: 1

Автомат получает на вход четырехзначное число $k$ . По этому числу строится новое число $M$ по таким правилам:

1. Последняя цифра числа увеличивается на единицу;

2. Последняя цифра числа переставляется в начало числа;

3. Пункты $1 − 2$ повторяются $n$ раз.

4. Вывод получившегося числа $M$ .

Примечание: В процессе работы алгоритма не должно происходить ситуаций переполнения (когда последняя цифра числа 9 и она увеличивается на единицу)

Пример: при исходных числах $k = 3672$ и $n = 3$ автомат выведет число $7833$ .

Укажите наибольшее число $k$ такое, что при $n = 5$ сумма цифр числа $M$ равна 7, и третья цифра числа $M$ равна $2$ .

Показать ответ и решение

Решение программой:

В этой задаче нам необходимо найти наибольшее четырёхзначное число k, которое после пяти повторений указанного преобразования превращается в число M с суммой цифр 7 и третьей цифрой, равной 2. Сначала мы перебираем все четырёхзначные числа от 1000 до 9999 включительно с помощью цикла for i in range(1000, 10000). Каждое число i преобразуем в список отдельных цифр через list(map(int, str(i))), чтобы можно было легко изменять отдельные цифры и переставлять их в нужном порядке. Переменная counter используется для подсчёта количества успешных итераций преобразования без переполнения, когда последняя цифра не равна 9.

Далее мы выполняем пять итераций преобразования числа. На каждой итерации проверяем, равна ли последняя цифра 9: если равна, процесс останавливается с помощью break, чтобы избежать переполнения. Если последняя цифра меньше 9, мы увеличиваем её на единицу с помощью n[-1] += 1 и переставляем её в начало списка, сдвигая остальные цифры вправо. Для перестановки используем генератор списка [n[i - 1] for i in range(4)], который формирует новый порядок цифр: последняя цифра становится первой, остальные сдвигаются на одну позицию вправо. Счётчик counter увеличивается на 1 для фиксации успешной итерации. После всех пяти итераций проверяем сразу три условия: сумма цифр нового числа равна 7 (sum(n) == 7), третья цифра равна 2 (n[2] == 2) и все пять итераций были успешными (counter == 5). Если все условия выполнены, выводим исходное число i с помощью print(i). Такой подход гарантирует, что мы найдём наибольшее число k, удовлетворяющее заданным условиям.

for i in range(1000, 10000):  # Перебираем все четырёхзначные числа от 1000 до 9999 включительно
    n = list(map(int, str(i)))  # Преобразуем число i в список его цифр, чтобы можно было легко изменять отдельные цифры
    counter = 0  # Счётчик успешных итераций без переполнения
    for j in range(5):  # Выполняем 5 итераций преобразования числа
        if n[-1] == 9:  # Проверяем, равна ли последняя цифра 9, чтобы не допустить переполнения
            break  # Если последняя цифра равна 9, прекращаем преобразования
        else:
            n[-1] += 1  # Увеличиваем последнюю цифру числа на 1
            n = [n[i - 1] for i in range(4)]  # Переставляем последнюю цифру в начало списка, остальные цифры сдвигаются вправо
            counter += 1  # Увеличиваем счётчик успешных итераций
    if sum(n) == 7 and n[2] == 2 and counter == 5:  # Проверяем все условия: сумма цифр, третья цифра и количество успешных итераций
        print(i)  # Если условия выполнены, выводим число i

Решение руками:

Запишем исходное число k в таком виде: $x1 : x2 : x3 : x4$ .

Если $n = 5$ , то новое число будет представлено в виде $(x4 + 2 ) : (x1 + 1) : (x2 + 1) : (x3 + 1 )$ . Заметим, что сумма цифр нового числа $M$ на $n$ больше чем сумма цифр исходного числа $k$ . Тогда сумма цифр исходного числа $k$ есть $2$ . Также заметим, что если на третьей позиции в числе $M$ стоит $2$ , то верно $x + 1 = 2 2$ , откуда $x = 1 2$ ; Значит, необходимо подобрать такие $x ,x ,x 1 3 4$ , чтобы их сумма была равна $1$ , и число $k$ было максимально при этом $x1,x3 < 9,$ а $x4 < 8.$ Такое число $1100$ .

Ответ: 1100

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 64#7173Максимум баллов за задание: 1

Автомат получает на вход четырехзначное число $k$ . По этому числу строится новое число $M$ по таким правилам:

1. Последняя цифра числа увеличивается на единицу;

2. Последняя цифра числа переставляется в начало числа;

3. Пункты $1 − 2$ повторяются $n$ раз.

4. Вывод получившегося числа $M$ .

Примечание: В процессе работы алгоритма не должно происходить ситуаций переполнения (когда последняя цифра числа 9 и она увеличивается на единицу)

Пример: при исходных числах $k = 3672$ и $n = 3$ автомат выведет число $7833$ .

Укажите наибольшее число $k$ такое, что при $n = 5$ сумма цифр числа $M$ равна 10, и третья цифра числа $M$ равна $4$ .

Показать ответ и решение

Решение программой:

В этой задаче нам нужно определить наибольшее четырёхзначное число k, которое после пяти повторений алгоритма преобразования превратится в число M с суммой цифр, равной 10, и с третьей цифрой, равной 4. Для этого мы начинаем с перебора всех четырёхзначных чисел от 1000 до 9999 включительно с помощью цикла for i in range(1000, 10000). Каждое число i преобразуем в список отдельных цифр с помощью конструкции list(map(int, str(i))). Это необходимо, чтобы можно было легко изменять отдельные цифры и переставлять их в нужном порядке. Переменная counter служит для подсчёта количества успешных итераций, то есть тех, в которых последняя цифра не равна 9 и преобразование прошло без переполнения.

Далее выполняются пять последовательных преобразований числа. На каждой итерации мы проверяем, не равна ли последняя цифра 9 с помощью условия if n[-1] == 9. Если равна, мы прерываем цикл через break, чтобы избежать переполнения. Если последняя цифра меньше 9, мы увеличиваем её на единицу с помощью n[-1] += 1 и переставляем её в начало числа, сдвигая остальные цифры вправо. Для перестановки используется генератор списка [n[i - 1] for i in range(4)], который формирует новый порядок: последняя цифра становится первой, а остальные смещаются на одну позицию вправо. Счётчик counter увеличивается на 1 после каждой успешной итерации.

После пяти итераций проверяем сразу три условия: сумма всех цифр нового числа равна 10 (sum(n) == 10), третья цифра равна 4 (n[2] == 4) и все пять итераций были успешными (counter == 5). Если все условия выполняются, выводим исходное число i с помощью print(i).

for i in range(1000, 10000):  # Перебираем все четырёхзначные числа от 1000 до 9999 включительно
    n = list(map(int, str(i)))  # Преобразуем число i в список его цифр, чтобы можно было легко изменять отдельные цифры
    counter = 0  # Счётчик успешных итераций без переполнения
    for j in range(5):  # Выполняем 5 итераций преобразования числа
        if n[-1] == 9:  # Проверяем, равна ли последняя цифра 9, чтобы не допустить переполнения
            break  # Если последняя цифра равна 9, прекращаем преобразования
        else:
            n[-1] += 1  # Увеличиваем последнюю цифру числа на 1
            n = [n[i - 1] for i in range(4)]  # Переставляем последнюю цифру в начало списка, остальные цифры сдвигаются вправо
            counter += 1  # Увеличиваем счётчик успешных итераций
    if sum(n) == 10 and n[2] == 4 and counter == 5:  # Проверяем все условия: сумма цифр, третья цифра и количество успешных итераций
        print(i)  # Если условия выполнены, выводим число i

Решение руками:

Запишем исходное число k в таком виде: $x1 : x2 : x3 : x4$ .

Если $n = 5$ , то новое число будет представлено в виде $(x4 + 2 ) : (x1 + 1) : (x2 + 1) : (x3 + 1 )$ . Заметим, что сумма цифр нового числа $M$ на $n$ больше чем сумма цифр исходного числа $k$ . Тогда сумма цифр исходного числа $k$ есть $5$ . Также заметим, что если на третьей позиции в числе $M$ стоит $4$ , то верно $x + 1 = 4 2$ , откуда $x = 3 2$ ; Значит, необходимо подобрать такие $x ,x ,x 1 3 4$ , чтобы их сумма была равна $2$ , и число $k$ было максимально. При этом $x1,x3 < 9$ , а $x4 < 8.$ Такое число $2300$ .

Ответ: 2300

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 65#7174Максимум баллов за задание: 1

Автомат получает на вход четырехзначное число $k$ . По этому числу строится новое число $M$ по таким правилам:

1. Последняя цифра числа увеличивается на единицу;

2. Последняя цифра числа переставляется в начало числа;

3. Пункты $1 − 2$ повторяются $n$ раз.

4. Вывод получившегося числа $M$ .

Примечание: В процессе работы алгоритма не должно происходить ситуаций переполнения (когда последняя цифра числа 9 и она увеличивается на единицу)

Пример: при исходных числах $k = 3672$ и $n = 3$ автомат выведет число $7833$ .

Укажите наименьшее число $k$ такое, что при $n = 6$ сумма цифр числа $M$ равна 28, и третья цифра числа $M$ равна $4$ .

Показать ответ и решение

Решение программой:

В этой задаче нам необходимо найти наименьшее четырёхзначное число k, которое после шести повторений заданного алгоритма преобразуется в число M с суммой цифр, равной 28, и третьей цифрой равной 4. Для этого мы используем перебор всех четырёхзначных чисел от 1000 до 9999 включительно с помощью цикла for i in range(1000, 10000). Каждое число i преобразуем в список отдельных цифр через list(map(int, str(i))), что позволяет нам легко изменять конкретные цифры и переставлять их в нужном порядке. Переменная counter служит для подсчёта успешных итераций преобразования, то есть тех, где последняя цифра числа не равна 9, чтобы избежать переполнения.

На каждой из шести итераций преобразования мы проверяем, не равна ли последняя цифра 9 с помощью условия if n[-1] == 9. Если это так, мы прерываем цикл через break, чтобы не допустить переполнения. В противном случае мы увеличиваем последнюю цифру на 1 с помощью n[-1] += 1 и переставляем её в начало списка цифр, сдвигая остальные цифры вправо. Перестановка выполняется с помощью генератора [n[i - 1] for i in range(4)], который создаёт новый список цифр в правильном порядке. После каждой успешной итерации увеличиваем счётчик counter на 1.

После выполнения всех шести итераций проверяем три условия одновременно: сумма цифр числа M равна 28 (sum(n) == 28), третья цифра числа M равна 4 (n[2] == 4) и все шесть итераций прошли успешно (counter == 6). Если условия выполняются, выводим исходное число i с помощью print(i) и прерываем цикл через break, так как нам требуется именно наименьшее число, удовлетворяющее условиям.

for i in range(1000, 10000):  # Перебираем все четырёхзначные числа от 1000 до 9999 включительно
    n = list(map(int, str(i)))  # Преобразуем число i в список его цифр, чтобы можно было легко изменять отдельные цифры
    counter = 0  # Счётчик успешных итераций без переполнения
    for j in range(6):  # Выполняем 6 итераций преобразования числа
        if n[-1] == 9:  # Проверяем, равна ли последняя цифра 9, чтобы не допустить переполнения
            break  # Если последняя цифра равна 9, прекращаем преобразования
        else:
            n[-1] += 1  # Увеличиваем последнюю цифру числа на 1
            n = [n[i - 1] for i in range(4)]  # Переставляем последнюю цифру в начало списка, остальные цифры сдвигаются вправо
            counter += 1  # Увеличиваем счётчик успешных итераций
    if sum(n) == 28 and n[2] == 4 and counter == 6:  # Проверяем все условия: сумма цифр, третья цифра и количество успешных итераций
        print(i)  # Если условия выполнены, выводим число i
        break  # Прерываем цикл, так как нужно наименьшее число

Запишем исходное число k в таком виде: $x1 : x2 : x3 : x4$ .

Если $n = 6$ , то новое число будет представлено в виде $(x3 + 2 ) : (x4 + 2) : (x1 + 1) : (x2 + 1 )$ . Заметим, что сумма цифр нового числа $M$ на $n$ больше чем сумма цифр исходного числа $k$ . Тогда сумма цифр исходного числа $k$ есть $22$ . Также заметим, что если на третьей позиции в числе $M$ стоит $4$ , то верно $x + 1 = 4 1$ , откуда $x = 3 1$ ; Значит, необходимо подобрать такие $x ,x ,x 1 3 4$ , чтобы их сумма была равна $19$ , и число $k$ было минимально. При этом $x2 < 9,$ а $x3,x4 < 8.$ Такое число $3577$ .

Ответ: 3577

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 66#7175Максимум баллов за задание: 1

Автомат получает на вход четырехзначное число $k$ . По этому числу строится новое число $M$ по таким правилам:

1. Последняя цифра числа увеличивается на единицу;

2. Последняя цифра числа переставляется в начало числа;

3. Пункты $1 − 2$ повторяются $n$ раз.

4. Вывод получившегося числа $M$ .

Примечание: В процессе работы алгоритма не должно происходить ситуаций переполнения (когда последняя цифра числа 9 и она увеличивается на единицу)

Пример: при исходных числах $k = 3672$ и $n = 3$ автомат выведет число $7833$ .

Укажите наименьшее число $k$ такое, что при $n = 6$ сумма цифр числа $M$ равна 20, и третья цифра числа $M$ равна $2$ .

Показать ответ и решение

Решение программой:

В этой задаче нам нужно найти наименьшее четырёхзначное число k, которое после шести повторений алгоритма преобразуется в число M с суммой цифр, равной 20, и третьей цифрой равной 2. Для этого мы используем полный перебор всех четырёхзначных чисел от 1000 до 9999 включительно с помощью цикла for i in range(1000, 10000). Каждое число i мы преобразуем в список отдельных цифр через list(map(int, str(i))), чтобы было удобно изменять отдельные цифры и переставлять их в нужном порядке. Переменная counter используется для подсчёта успешных итераций преобразования, то есть тех шагов, где последняя цифра числа не равна 9, чтобы избежать переполнения.

На каждой из шести итераций преобразования мы проверяем условие if n[-1] == 9. Если последняя цифра равна 9, мы прерываем цикл через break, так как увеличение 9 на 1 вызовет переполнение. В противном случае увеличиваем последнюю цифру на 1 с помощью n[-1] += 1 и переставляем её в начало списка цифр, сдвигая остальные цифры вправо, что реализовано конструкцией [n[i - 1] for i in range(4)]. После каждой успешной итерации увеличиваем счётчик counter на 1.

После выполнения всех шести итераций проверяем три условия одновременно: сумма цифр числа M равна 20 (sum(n) == 20), третья цифра числа M равна 2 (n[2] == 2) и все шесть итераций прошли успешно (counter == 6). Если эти условия выполняются, выводим исходное число i с помощью print(i) и прерываем цикл через break, так как требуется именно наименьшее число, удовлетворяющее условиям задачи.

for i in range(1000, 10000):  # Перебираем все четырёхзначные числа от 1000 до 9999 включительно
    n = list(map(int, str(i)))  # Преобразуем число i в список его цифр, чтобы можно было легко изменять отдельные цифры
    counter = 0  # Счётчик успешных итераций без переполнения
    for j in range(6):  # Выполняем 6 итераций преобразования числа
        if n[-1] == 9:  # Проверяем, равна ли последняя цифра 9, чтобы не допустить переполнения
            break  # Если последняя цифра равна 9, прекращаем преобразования
        else:
            n[-1] += 1  # Увеличиваем последнюю цифру числа на 1
            n = [n[i - 1] for i in range(4)]  # Переставляем последнюю цифру в начало списка, остальные цифры сдвигаются вправо
            counter += 1  # Увеличиваем счётчик успешных итераций
    if sum(n) == 20 and n[2] == 2 and counter == 6:  # Проверяем все условия: сумма цифр, третья цифра и количество успешных итераций
        print(i)  # Если условия выполнены, выводим число i
        break  # Прерываем цикл, так как нужно наименьшее число

Решение руками:

Запишем исходное число k в таком виде: $x1 : x2 : x3 : x4$ .

Если $n = 6$ , то новое число будет представлено в виде $(x3 + 2 ) : (x4 + 2) : (x1 + 1) : (x2 + 1 )$ . Заметим, что сумма цифр нового числа $M$ на $n$ больше чем сумма цифр исходного числа $k$ . Тогда сумма цифр исходного числа $k$ есть $14$ . Также заметим, что если на третьей позиции в числе $M$ стоит $2$ , то верно $x1 + 1 = 2$ , откуда $x1 = 1$ ; Значит, необходимо подобрать такие $x1,x3, x4$ , чтобы их сумма была равна $13$ , и число $k$ было минимально. При этом $x2 < 9$ , а $x3,x4 < 8.$ Такое число $1067$ .

Ответ: 1067

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 67#7176Максимум баллов за задание: 1

Автомат получает на вход четырехзначное число $k$ . По этому числу строится новое число $M$ по таким правилам:

Последняя цифра числа увеличивается на единицу;
Последняя цифра числа переставляется в начало числа;
Пункты $1 − 2$ повторяются $n$ раз.
Вывод получившегося числа $M$ .

Примечание: В процессе работы алгоритма не должно происходить ситуаций переполнения (когда последняя цифра числа 9 и она увеличивается на единицу)

Пример: при исходных числах $k = 3672$ и $n = 3$ автомат выведет число $7833$ .

Укажите наименьшее число $k$ такое, что при $n = 6$ сумма цифр числа $M$ равна $28$ , и третья цифра числа $M$ равна $9$ .

Показать ответ и решение

В этой задаче мы ищем наименьшее четырёхзначное число k, которое после шести последовательных преобразований по правилам автомата превратится в число M с суммой цифр равной 28 и третьей цифрой равной 9. Для этого мы используем перебор всех четырёхзначных чисел от 1000 до 9999 с помощью цикла for i in range(10**3, 10**4). Каждое число i мы преобразуем в строку через str(i), чтобы можно было обращаться к отдельным цифрам по индексам, а затем превращаем каждый символ строки в целое число через [int(j) for j in str(i)], создавая список x из цифр числа. Такой подход позволяет нам удобно изменять отдельные цифры числа и переставлять их по правилам автомата.

Далее мы создаём логическую переменную fl, которая будет сигнализировать, что все итерации преобразования прошли успешно без переполнения последней цифры. В цикле for _ in range(6) мы выполняем шесть преобразований: сначала проверяем последнюю цифру x[-1]. Если она меньше 9, мы увеличиваем её на 1 с помощью x[-1] += 1. Если же последняя цифра равна 9, дальнейшее увеличение привело бы к переполнению, поэтому мы устанавливаем fl = False и прерываем цикл с помощью break. После увеличения последней цифры мы переставляем её в начало списка, сдвигая остальные цифры вправо с помощью конструкции x = [x[-1]] + x[:-1], что точно соответствует описанному алгоритму автомата.

После выполнения всех шести преобразований мы проверяем выполнение трёх условий: все итерации прошли успешно (fl истинно), сумма цифр числа M равна 28 (sum(x) == 28), и третья цифра числа M равна 9 (x[2] == 9). Если все условия выполняются, мы выводим найденное число через print(i) и прерываем цикл с помощью break, так как требуется наименьшее число, удовлетворяющее условиям.

for i in range(10**3, 10**4):  # Перебираем все четырёхзначные числа от 1000 до 9999 включительно
    x = [int(j) for j in str(i)]  # Преобразуем число i в список его цифр для удобной работы с отдельными цифрами
    fl = True  # Логическая переменная, показывающая успешность всех итераций без переполнения
    for _ in range(6):  # Выполняем 6 итераций преобразования числа
        if x[-1] != 9:  # Проверяем, не равна ли последняя цифра 9, чтобы не допустить переполнения
            x[-1] += 1  # Увеличиваем последнюю цифру числа на 1
        else:
            fl = False  # Если последняя цифра равна 9, дальнейшее увеличение невозможно
            break  # Прерываем цикл, так как возникло переполнение
        x = [x[-1]] + x[:-1]  # Переставляем последнюю цифру в начало списка, остальные цифры сдвигаются вправо
    if fl and sum(x) == 28 and x[2] == 9:  # Проверяем все условия: успешность итераций, сумма цифр и третья цифра
        print(i)  # Если условия выполнены, выводим число i
        break  # Прерываем цикл, так как нужно наименьшее число

Ответ: 8077

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 68#7177Максимум баллов за задание: 1

Автомат получает на вход четырехзначное число $k$ . По этому числу строится новое число $M$ по таким правилам:

1. Последняя цифра числа увеличивается на единицу;

2. Последняя цифра числа переставляется в начало числа;

3. Пункты $1 − 2$ повторяются $n$ раз.

4. Вывод получившегося числа $M$ .

Примечание: В процессе работы алгоритма не должно происходить ситуаций переполнения (когда последняя цифра числа 9 и она увеличивается на единицу)

Пример: при исходных числах $k = 3672$ и $n = 3$ автомат выведет число $7833$ .

Укажите наименьшее число $k$ такое, что при $n = 6$ сумма цифр числа $M$ равна 31, и третья цифра числа $M$ равна $8$ .

Показать ответ и решение

Программное решение:

В этой задаче нам нужно найти наименьшее четырёхзначное число k, которое после шести повторений преобразования превращается в число M с суммой цифр, равной 31, и третьей цифрой равной 8. Для решения мы используем полный перебор всех четырёхзначных чисел от 1000 до 9999 включительно с помощью цикла for i in range(1000, 10000). Каждое число i мы сначала превращаем в строку с помощью str(i), а затем через map(int, ...) преобразуем каждый символ в цифру и собираем их в список n = list(map(int, str(i))). Такой приём позволяет нам легко изменять отдельные цифры числа и переставлять их по заданным правилам. Переменная counter используется для подсчёта успешных итераций преобразования, то есть тех шагов, где последняя цифра числа не равна 9, чтобы избежать переполнения при увеличении.

На каждой из шести итераций мы проверяем, равна ли последняя цифра 9 с помощью if n[-1] == 9. Если это так, мы прерываем цикл через break, так как увеличение 9 на 1 привело бы к переполнению. Если же последняя цифра меньше 9, мы увеличиваем её на 1 через n[-1] += 1 и переставляем её в начало списка, сдвигая остальные три цифры вправо, используя конструкцию [n[i - 1] for i in range(4)]. После каждой успешной итерации увеличиваем counter на 1.

После выполнения всех шести итераций мы проверяем три условия одновременно: сумма цифр числа M равна 31 (sum(n) == 31), третья цифра числа M равна 8 (n[2] == 8) и все шесть итераций были успешными (counter == 6). Если эти условия выполняются, выводим исходное число i с помощью print(i) и прерываем цикл через break, так как требуется именно наименьшее число, соответствующее условиям.

for i in range(1000, 10000):  # Перебираем все четырёхзначные числа от 1000 до 9999 включительно
    n = list(map(int, str(i)))  # Преобразуем число i в список его цифр, чтобы можно было легко изменять отдельные цифры
    counter = 0  # Счётчик успешных итераций без переполнения
    for j in range(6):  # Выполняем 6 итераций преобразования числа
        if n[-1] == 9:  # Проверяем, равна ли последняя цифра 9, чтобы не допустить переполнения
            break  # Если последняя цифра равна 9, прекращаем преобразования
        else:
            n[-1] += 1  # Увеличиваем последнюю цифру числа на 1
            n = [n[i - 1] for i in range(4)]  # Переставляем последнюю цифру в начало списка, остальные цифры сдвигаются вправо
            counter += 1  # Увеличиваем счётчик успешных итераций
    if sum(n) == 31 and n[2] == 8 and counter == 6:  # Проверяем все условия: сумма цифр, третья цифра и количество успешных итераций
        print(i)  # Если условия выполнены, выводим число i
        break  # Прерываем цикл, так как нужно наименьшее число

Аналитическое решение:

Запишем исходное число k в таком виде: $x1 : x2 : x3 : x4$ .

Если $n = 6$ , то новое число будет представлено в виде $(x3 + 2 ) : (x4 + 2) : (x1 + 1) : (x2 + 1 )$ . Заметим, что сумма цифр нового числа $M$ на $n$ больше чем сумма цифр исходного числа $k$ . Тогда сумма цифр исходного числа $k$ есть $25$ . Также заметим, что если на третьей позиции в числе $M$ стоит $8$ , то верно $x + 1 = 8 1$ , откуда $x = 7 1$ ; Значит, необходимо подобрать такие $x ,x ,x 1 3 4$ , чтобы их сумма была равна $18$ , и число $k$ было минимально при этом $x2 < 9,$ а $x3,x4 < 8.$ Такое число $7477$ .

Ответ: 7477

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 69#7178Максимум баллов за задание: 1

Автомат получает на вход четырехзначное число $k$ . По этому числу строится новое число $M$ по таким правилам:

1. Последняя цифра числа увеличивается на единицу;

2. Последняя цифра числа переставляется в начало числа;

3. Пункты $1 − 2$ повторяются $n$ раз.

4. Вывод получившегося числа $M$ .

Примечание: В процессе работы алгоритма не должно происходить ситуаций переполнения (когда последняя цифра числа 9 и она увеличивается на единицу)

Пример: при исходных числах $k = 3672$ и $n = 3$ автомат выведет число $7833$ .

Укажите наименьшее число $k$ такое, что при $n = 6$ сумма цифр числа $M$ равна 35, и третья цифра числа $M$ равна $8$ .

Показать ответ и решение

Программное решение:

В этой задаче мы ищем наименьшее четырёхзначное число k, которое после шести повторений заданного преобразования превращается в число M с суммой цифр, равной 35, и третьей цифрой равной 8. Для этого мы используем полный перебор всех четырёхзначных чисел от 1000 до 9999 с помощью цикла for i in range(1000, 10000). Каждое число i мы сначала превращаем в строку с помощью str(i), а затем применяем map(int, ...), чтобы каждую цифру преобразовать в отдельное число и собрать их в список n = list(map(int, str(i))). Это позволяет нам легко обращаться к отдельным цифрам числа и изменять их согласно правилам алгоритма. Для контроля успешных преобразований мы вводим переменную counter, которая считает количество итераций, прошедших без переполнения последней цифры.

На каждой из шести итераций мы проверяем последнюю цифру числа через if n[-1] == 9. Если она равна 9, увеличивать её нельзя, иначе произойдёт переполнение, поэтому мы прерываем цикл с помощью break. Если же последняя цифра меньше 9, мы увеличиваем её на 1 с помощью n[-1] += 1 и переставляем её в начало списка, сдвигая остальные три цифры вправо, используя конструкцию [n[i - 1] for i in range(4)]. После каждой успешной итерации увеличиваем counter на 1, чтобы отслеживать, что все шаги были корректными.

После выполнения всех шести итераций мы проверяем три условия одновременно: сумма цифр числа M равна 35 (sum(n) == 35), третья цифра числа M равна 8 (n[2] == 8), и все шесть итераций прошли успешно (counter == 6). Если эти условия выполняются, выводим исходное число i с помощью print(i) и прерываем цикл через break, так как требуется именно наименьшее число, удовлетворяющее условиям.

for i in range(1000, 10000):  # Перебираем все четырёхзначные числа от 1000 до 9999 включительно
    n = list(map(int, str(i)))  # Преобразуем число i в список его цифр, чтобы можно было легко изменять отдельные цифры
    counter = 0  # Счётчик успешных итераций без переполнения
    for j in range(6):  # Выполняем 6 итераций преобразования числа
        if n[-1] == 9:  # Проверяем, равна ли последняя цифра 9, чтобы не допустить переполнения
            break  # Если последняя цифра равна 9, прекращаем преобразования
        else:
            n[-1] += 1  # Увеличиваем последнюю цифру числа на 1
            n = [n[i - 1] for i in range(4)]  # Переставляем последнюю цифру в начало списка, остальные цифры сдвигаются вправо
            counter += 1  # Увеличиваем счётчик успешных итераций
    if sum(n) == 35 and n[2] == 8 and counter == 6:  # Проверяем все условия: сумма цифр, третья цифра и количество успешных итераций
        print(i)  # Если условия выполнены, выводим число i
        break  # Прерываем цикл, так как нужно наименьшее число

Аналитическое решение:

Запишем исходное число k в таком виде: $x1 : x2 : x3 : x4$ .

Если $n = 6$ , то новое число будет представлено в виде $(x3 + 2 ) : (x4 + 2) : (x1 + 1) : (x2 + 1 )$ . Заметим, что сумма цифр нового числа $M$ на $n$ больше чем сумма цифр исходного числа $k$ . Тогда сумма цифр исходного числа $k$ есть $29$ . Также заметим, что если на третьей позиции в числе $M$ стоит $8$ , то верно $x + 1 = 8 1$ , откуда $x = 7 1$ ; Значит, необходимо подобрать такие $x ,x ,x 1 3 4$ , чтобы их сумма была равна $22$ , и число $k$ было минимально при этом $x2 < 9,$ а $x3,x4 < 8.$ Такое число $7877$ .

Ответ: 7877

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 70#7179Максимум баллов за задание: 1

Автомат получает на вход четырехзначное число $k$ . По этому числу строится новое число $M$ по таким правилам:

1. Последняя цифра числа увеличивается на единицу;

2. Последняя цифра числа переставляется в начало числа;

3. Пункты $1 − 2$ повторяются $n$ раз.

4. Вывод получившегося числа $M$ .

Примечание: В процессе работы алгоритма не должно происходить ситуаций переполнения (когда последняя цифра числа 9 и она увеличивается на единицу)

Пример: при исходных числах $k = 3672$ и $n = 3$ автомат выведет число $7833$ .

Укажите наименьшее число $k$ такое, что при $n = 6$ сумма цифр числа $M$ равна 25, и третья цифра числа $M$ равна $4$ .

Показать ответ и решение

Решение программой:

В этой задаче мы должны найти наименьшее четырёхзначное число k, которое после шести последовательных преобразований по заданным правилам превращается в число M с суммой цифр, равной 25, и третьей цифрой равной 4. Для этого мы используем цикл for i in range(1000, 10000), который перебирает все четырёхзначные числа от 1000 до 9999 включительно. Каждое число i мы преобразуем в список отдельных цифр с помощью конструкции n = list(map(int, str(i))), где str(i) превращает число в строку, а map(int, ...) преобразует каждый символ строки обратно в целое число. Это позволяет нам легко изменять отдельные цифры числа и перемещать их в списке в соответствии с правилами преобразования. Для контроля количества успешных итераций мы вводим переменную counter, которая увеличивается на 1 после каждой итерации, если последняя цифра числа не равна 9 и преобразование выполнено корректно.

На каждой из шести итераций мы проверяем последнюю цифру списка через if n[-1] == 9. Если последняя цифра равна 9, мы не можем её увеличивать, иначе произойдёт переполнение, поэтому цикл прерывается с помощью break. Если последняя цифра меньше 9, мы увеличиваем её на 1 с помощью n[-1] += 1 и переставляем её в начало списка, сдвигая остальные три цифры вправо, используя конструкцию [n[i - 1] for i in range(4)]. После каждой успешной итерации увеличиваем counter на 1, чтобы отслеживать, что все шаги прошли корректно.

После завершения всех шести итераций мы проверяем три условия одновременно: сумма цифр числа M равна 25 (sum(n) == 25), третья цифра числа M равна 4 (n[2] == 4), и все шесть итераций прошли успешно (counter == 6). Если все эти условия выполняются, выводим исходное число i с помощью print(i) и прерываем цикл через break, так как требуется найти именно наименьшее число, удовлетворяющее условиям.

for i in range(1000, 10000):  # Перебираем все четырёхзначные числа от 1000 до 9999 включительно
    n = list(map(int, str(i)))  # Преобразуем число i в список его цифр, чтобы можно было легко изменять отдельные цифры
    counter = 0  # Счётчик успешных итераций без переполнения
    for j in range(6):  # Выполняем 6 итераций преобразования числа
        if n[-1] == 9:  # Проверяем, равна ли последняя цифра 9, чтобы не допустить переполнения
            break  # Если последняя цифра равна 9, прекращаем преобразования
        else:
            n[-1] += 1  # Увеличиваем последнюю цифру числа на 1
            n = [n[i - 1] for i in range(4)]  # Переставляем последнюю цифру в начало списка, остальные цифры сдвигаются вправо
            counter += 1  # Увеличиваем счётчик успешных итераций
    if sum(n) == 25 and n[2] == 4 and counter == 6:  # Проверяем все условия: сумма цифр, третья цифра и количество успешных итераций
        print(i)  # Если условия выполнены, выводим число i
        break  # Прерываем цикл, так как нужно наименьшее число

Решение руками:

Запишем исходное число k в таком виде: $x1 : x2 : x3 : x4$ .

Если $n = 6$ , то новое число будет представлено в виде $(x3 + 2 ) : (x4 + 2) : (x1 + 1) : (x2 + 1 )$ . Заметим, что сумма цифр нового числа $M$ на $n$ больше чем сумма цифр исходного числа $k$ . Тогда сумма цифр исходного числа $k$ есть $19$ . Также заметим, что если на третьей позиции в числе $M$ стоит $4$ , то верно $x1 + 1 = 4$ , откуда $x1 = 3$ ; Значит, необходимо подобрать такие $x1,x3, x4$ , чтобы их сумма была равна $16$ , и число $k$ было минимально при этом $x2 < 9,$ а $x3,x4 < 8.$ Такое число $3277$ .

Ответ: 3277

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 71#7180Максимум баллов за задание: 1

Автомат получает на вход четырехзначное число $k$ . По этому числу строится новое число $M$ по таким правилам:

1. Последняя цифра числа увеличивается на единицу;

2. Последняя цифра числа переставляется в начало числа;

3. Пункты $1 − 2$ повторяются $n$ раз.

4. Вывод получившегося числа $M$ .

Примечание: В процессе работы алгоритма не должно происходить ситуаций переполнения (когда последняя цифра числа 9 и она увеличивается на единицу)

Пример: при исходных числах $k = 3672$ и $n = 3$ автомат выведет число $7833$ .

Укажите наименьшее число $k$ такое, что при $n = 6$ сумма цифр числа $M$ равна 19, и третья цифра числа $M$ равна $2$ .

Показать ответ и решение

Решение программой:

В этой задаче нам необходимо найти наименьшее четырёхзначное число k, которое после шести последовательных преобразований по заданным правилам превращается в число M с суммой цифр, равной 19, и третьей цифрой равной 2. Для этого мы используем цикл for i in range(1000, 10000), перебирая все четырёхзначные числа от 1000 до 9999 включительно. Каждое число i мы преобразуем в список отдельных цифр с помощью n = list(map(int, str(i))). Здесь сначала str(i) превращает число в строку, чтобы мы могли работать с отдельными символами, а затем map(int, ...) превращает каждый символ строки обратно в целое число, формируя список цифр числа. Такой список удобно использовать для поэтапного изменения цифр в соответствии с правилами задачи.

Для отслеживания количества успешно выполненных итераций без переполнения мы вводим переменную counter, которую увеличиваем после каждой корректной операции. На каждой из шести итераций мы проверяем последнюю цифру числа через if n[-1] == 9. Если последняя цифра равна 9, увеличение на единицу приведёт к переполнению, поэтому в этом случае мы прерываем цикл с помощью break. Если последняя цифра меньше 9, мы увеличиваем её на 1 через n[-1] += 1 и переставляем её в начало списка, сдвигая остальные цифры вправо с помощью [n[i - 1] for i in range(4)]. После каждой успешной итерации увеличиваем counter на 1.

После завершения всех шести итераций проверяем три условия одновременно: сумма цифр числа M равна 19 (sum(n) == 19), третья цифра числа M равна 2 (n[2] == 2), и все шесть итераций прошли успешно (counter == 6). Если все условия выполняются, выводим исходное число i с помощью print(i) и прерываем цикл через break, так как требуется найти именно наименьшее число, удовлетворяющее условиям.

for i in range(1000, 10000):  # Перебираем все четырёхзначные числа от 1000 до 9999 включительно
    n = list(map(int, str(i)))  # Преобразуем число i в список его цифр, чтобы можно было легко изменять отдельные цифры
    counter = 0  # Счётчик успешных итераций без переполнения
    for j in range(6):  # Выполняем 6 итераций преобразования числа
        if n[-1] == 9:  # Проверяем, равна ли последняя цифра 9, чтобы не допустить переполнения
            break  # Если последняя цифра равна 9, прекращаем преобразования
        else:
            n[-1] += 1  # Увеличиваем последнюю цифру числа на 1
            n = [n[i - 1] for i in range(4)]  # Переставляем последнюю цифру в начало списка, остальные цифры сдвигаются вправо
            counter += 1  # Увеличиваем счётчик успешных итераций
    if sum(n) == 19 and n[2] == 2 and counter == 6:  # Проверяем все условия: сумма цифр, третья цифра и количество успешных итераций
        print(i)  # Если условия выполнены, выводим число i
        break  # Прерываем цикл, так как нужно наименьшее число

Решение руками:

Запишем исходное число k в таком виде: $x1 : x2 : x3 : x4$ .

Если $n = 6$ , то новое число будет представлено в виде $(x3 + 2 ) : (x4 + 2) : (x1 + 1) : (x2 + 1 )$ . Заметим, что сумма цифр нового числа $M$ на $n$ больше чем сумма цифр исходного числа $k$ . Тогда сумма цифр исходного числа $k$ есть $13$ . Также заметим, что если на третьей позиции в числе $M$ стоит $2$ , то верно $x1 + 1 = 2$ , откуда $x1 = 1$ ; Значит, необходимо подобрать такие $x1,x3, x4$ , чтобы их сумма была равна $12$ , и число $k$ было минимально при этом $x2 < 9,$ а $x3,x4 < 8.$ Такое число $1057$ .

Ответ: 1057

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 72#7181Максимум баллов за задание: 1

Автомат получает на вход четырехзначное число $k$ . По этому числу строится новое число $M$ по таким правилам:

1. Последняя цифра числа увеличивается на единицу;

2. Последняя цифра числа переставляется в начало числа;

3. Пункты $1 − 2$ повторяются $n$ раз.

4. Вывод получившегося числа $M$ .

Примечание: В процессе работы алгоритма не должно происходить ситуаций переполнения (когда последняя цифра числа 9 и она увеличивается на единицу)

Пример: при исходных числах $k = 3672$ и $n = 3$ автомат выведет число $7833$ .

Укажите наименьшее число $k$ такое, что при $n = 6$ сумма цифр числа $M$ равна 30, и третья цифра числа $M$ равна $8$ .

Показать ответ и решение

Решение программой:

В этой задаче нам нужно определить наименьшее четырёхзначное число k, которое после шести последовательных преобразований по правилам задачи становится числом M с суммой цифр, равной 30, и третьей цифрой равной 8. Для этого мы используем цикл for i in range(1000, 10000), который перебирает все четырёхзначные числа от 1000 до 9999 включительно. Каждое число i мы сначала преобразуем в строку с помощью str(i), чтобы можно было обращаться к отдельным цифрам по индексам, а затем применяем map(int, ...) для превращения каждого символа строки обратно в целое число, формируя список цифр числа через n = list(map(int, str(i))). Это позволяет нам легко манипулировать цифрами числа при выполнении правил автомата.

Для контроля успешных преобразований без переполнения вводим переменную counter, которая увеличивается на единицу после каждой корректной итерации. В цикле for j in range(6) мы выполняем шесть преобразований. На каждой итерации проверяем последнюю цифру через if n[-1] == 9. Если последняя цифра равна 9, то её увеличение на 1 приведёт к переполнению, поэтому цикл прерывается с помощью break. Если последняя цифра меньше 9, мы увеличиваем её на 1 с помощью n[-1] += 1 и переставляем её в начало списка сдвигая остальные цифры вправо через [n[i - 1] for i in range(4)]. После каждого успешного преобразования увеличиваем counter на 1.

После завершения всех шести итераций проверяем выполнение трёх условий: сумма цифр числа M равна 30 (sum(n) == 30), третья цифра числа M равна 8 (n[2] == 8), и все шесть итераций были успешными (counter == 6). Если все условия выполняются, мы выводим найденное число i через print(i) и прерываем цикл с помощью break, так как требуется наименьшее число, удовлетворяющее условиям.

for i in range(1000, 10000):  # Перебираем все четырёхзначные числа от 1000 до 9999 включительно
    n = list(map(int, str(i)))  # Преобразуем число i в список его цифр, чтобы можно было легко изменять отдельные цифры
    counter = 0  # Счётчик успешных итераций без переполнения
    for j in range(6):  # Выполняем 6 итераций преобразования числа
        if n[-1] == 9:  # Проверяем, равна ли последняя цифра 9, чтобы не допустить переполнения
            break  # Если последняя цифра равна 9, прекращаем преобразования
        else:
            n[-1] += 1  # Увеличиваем последнюю цифру числа на 1
            n = [n[i - 1] for i in range(4)]  # Переставляем последнюю цифру в начало списка, остальные цифры сдвигаются вправо
            counter += 1  # Увеличиваем счётчик успешных итераций
    if sum(n) == 30 and n[2] == 8 and counter == 6:  # Проверяем все условия: сумма цифр, третья цифра и количество успешных итераций
        print(i)  # Если условия выполнены, выводим число i
        break  # Прерываем цикл, так как нужно наименьшее число

Решение руками:

Запишем исходное число k в таком виде: $x1 : x2 : x3 : x4$ .

Если $n = 6$ , то новое число будет представлено в виде $(x3 + 2 ) : (x4 + 2) : (x1 + 1) : (x2 + 1 )$ . Заметим, что сумма цифр нового числа $M$ на $n$ больше чем сумма цифр исходного числа $k$ . Тогда сумма цифр исходного числа $k$ есть $24$ . Также заметим, что если на третьей позиции в числе $M$ стоит $8$ , то верно $x1 + 1 = 8$ , откуда $x1 = 7$ ; Значит, необходимо подобрать такие $x1,x3, x4$ , чтобы их сумма была равна $17$ , и число $k$ было минимально при этом $x2 < 9,$ а $x3,x4 < 8.$ Такое число $7377$ .

Ответ: 7377

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 73#7182Максимум баллов за задание: 1

Автомат получает на вход четырехзначное число $k$ . По этому числу строится новое число $M$ по таким правилам:

1. Последняя цифра числа увеличивается на единицу;

2. Последняя цифра числа переставляется в начало числа;

3. Пункты $1 − 2$ повторяются $n$ раз.

4. Вывод получившегося числа $M$ .

Примечание: В процессе работы алгоритма не должно происходить ситуаций переполнения (когда последняя цифра числа 9 и она увеличивается на единицу)

Пример: при исходных числах $k = 3672$ и $n = 3$ автомат выведет число $7833$ .

Укажите наименьшее число $k$ такое, что при $n = 6$ сумма цифр числа $M$ равна 21, и третья цифра числа $M$ равна $5$ .

Показать ответ и решение

Решение программой:

В этой задаче нам нужно найти наименьшее четырёхзначное число k, которое после шести последовательных преобразований по правилам автомата превращается в число M с суммой цифр равной 21 и третьей цифрой равной 5. Для этого мы перебираем все четырёхзначные числа от 1000 до 9999 включительно с помощью цикла for i in range(1000, 10000). Каждое число i мы преобразуем в строку через str(i), чтобы иметь возможность обращаться к отдельным цифрам по индексам, а затем с помощью map(int, ...) превращаем символы строки обратно в целые числа, создавая список цифр числа n = list(map(int, str(i))). Такой список позволяет нам удобно изменять отдельные цифры числа и выполнять операции, описанные в правилах автомата.

Далее мы создаём счётчик успешных преобразований counter, который фиксирует количество итераций без переполнения последней цифры. В цикле for j in range(6) мы последовательно выполняем шесть преобразований: сначала проверяем последнюю цифру через if n[-1] == 9. Если последняя цифра равна 9, её увеличение на единицу привело бы к переполнению, поэтому мы прерываем цикл с помощью break. Если последняя цифра меньше 9, мы увеличиваем её на 1 (n[-1] += 1) и переставляем в начало списка, сдвигая остальные цифры вправо с помощью конструкции [n[i - 1] for i in range(4)]. После каждого успешного преобразования увеличиваем counter на 1, фиксируя, что итерация прошла без ошибок.

После выполнения всех шести преобразований мы проверяем выполнение трёх условий: сумма цифр числа M равна 21 (sum(n) == 21), третья цифра числа M равна 5 (n[2] == 5), и все шесть итераций были успешными (counter == 6). Если все условия выполняются, мы выводим найденное число i через print(i) и прерываем цикл с помощью break, поскольку требуется наименьшее число, удовлетворяющее условиям.

for i in range(1000, 10000):  # Перебираем все четырёхзначные числа от 1000 до 9999 включительно
    n = list(map(int, str(i)))  # Преобразуем число i в список его цифр для удобной работы с отдельными цифрами
    counter = 0  # Счётчик успешных итераций без переполнения
    for j in range(6):  # Выполняем 6 итераций преобразования числа
        if n[-1] == 9:  # Проверяем, равна ли последняя цифра 9, чтобы не допустить переполнения
            break  # Если последняя цифра равна 9, прекращаем преобразования
        else:
            n[-1] += 1  # Увеличиваем последнюю цифру числа на 1
            n = [n[i - 1] for i in range(4)]  # Переставляем последнюю цифру в начало списка, остальные цифры сдвигаются вправо
            counter += 1  # Увеличиваем счётчик успешных итераций
    if sum(n) == 21 and n[2] == 5 and counter == 6:  # Проверяем все условия: сумма цифр, третья цифра и количество успешных итераций
        print(i)  # Если условия выполнены, выводим число i
        break  # Прерываем цикл, так как нужно наименьшее число

Решение руками:

Запишем исходное число k в таком виде: $x1 : x2 : x3 : x4$ .

Если $n = 6$ , то новое число будет представлено в виде $(x3 + 2 ) : (x4 + 2) : (x1 + 1) : (x2 + 1 )$ . Заметим, что сумма цифр нового числа $M$ на $n$ больше чем сумма цифр исходного числа $k$ . Тогда сумма цифр исходного числа $k$ есть $15$ . Также заметим, что если на третьей позиции в числе $M$ стоит $5$ , то верно $x1 + 1 = 5$ , откуда $x1 = 4$ ; Значит, необходимо подобрать такие $x1,x3, x4$ , чтобы их сумма была равна $11$ , и число $k$ было минимально при этом $x2 < 9,$ а $x3,x4 < 8.$ Такое число $4047$ .

Ответ: 4047

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 74#7515Максимум баллов за задание: 1

Автомат получает на вход четырехзначное число. По этому числу строится новое число по следующим правилам.

1. Перемножаются первая и вторая, а также третья и четвертая цифры исходного числа.

2. Полученные два числа записываются друг за другом в порядке убывания (без разделителей).

Пример. Исходное число: 2491. Произведения: $2 ⋅ 4 = 8;9 ⋅ 1 = 9.$ Результат: 98.

Укажите наименьшее число, в результате обработки которого автомат выдаст число 274.

Показать ответ и решение

Решение программой:

В этой задаче нам требуется найти наименьшее четырёхзначное число, которое после обработки по правилам автомата даёт число 274. Алгоритм автомата состоит в том, что сначала мы берём исходное число и разделяем его на отдельные цифры: первую, вторую, третью и четвёртую. Для удобной работы с отдельными цифрами мы преобразуем число в строку через str(k), чтобы можно было обращаться к каждой цифре по индексу, а затем используем int(s[i]), чтобы превратить символ цифры обратно в целое число для вычислений. Далее мы перемножаем первую и вторую цифру (int(s[0]) * int(s[1])) и третью и четвёртую (int(s[2]) * int(s[3])), получая два произведения.

Следующий шаг — формирование нового числа M. Поскольку правила требуют записывать результаты в порядке убывания, мы используем функцию max для большего произведения и min для меньшего. Для получения итогового числа мы преобразуем эти произведения в строки и соединяем их через str(max(...)) + str(min(...)), после чего получаем целое число через int(...). Это полностью повторяет логику работы автомата: сначала вычисляются произведения пар цифр, а затем формируется новое число в нужном порядке.

Чтобы найти наименьшее число, которое при обработке даёт результат 274, мы перебираем все четырёхзначные числа с помощью цикла for k in range(1000, 10000). Для каждого числа проверяем, совпадает ли полученное число M с 274. Если совпадение есть, мы сохраняем число в переменную min_k и сразу прерываем цикл через break, так как нас интересует именно наименьшее число. После завершения цикла выводим найденное число через print(min_k).

min_k = None  # Инициализируем переменную для хранения наименьшего подходящего числа
for k in range(1000, 10000):  # Перебираем все четырёхзначные числа от 1000 до 9999 включительно
    s = str(k)  # Преобразуем число в строку, чтобы обращаться к отдельным цифрам по индексам
    first_prod = int(s[0]) * int(s[1])  # Перемножаем первую и вторую цифры исходного числа
    second_prod = int(s[2]) * int(s[3])  # Перемножаем третью и четвёртую цифры исходного числа
    result = int(str(max(first_prod, second_prod)) + str(min(first_prod, second_prod)))
    # Формируем новое число: сначала большее произведение, затем меньшее, без разделителей
    if result == 274:  # Проверяем, совпадает ли полученное число с требуемым результатом
        min_k = k  # Сохраняем найденное число как наименьшее подходящее
        break  # Прерываем цикл, так как наименьшее число найдено
print(min_k)  # Выводим наименьшее число, которое при обработке даёт 274

Решение руками:

Максимальное значение, которое можно получить при перемножении двух цифр, — 81. Поэтому разобьем результат работы алгоритма на числа, не превышающие 81, записанные в порядке убывания: 27|4.

Теперь подберем наиболее выгодное для нас разложение числа 27. Наша задача подобрать такое разложение, чтобы одно из чисел в произведении было минимальным:

$9 ⋅ 3 = 27$ — самое выгодное для нас разложение числа 27. В остальных случаях мы не сможем получить минимальное число.

Теперь подберем наиболее выгодное для нас разложение числа 4. Наша задача подобрать такое разложение, чтобы одно из чисел в произведении было минимальным:

$4 ⋅ 1 = 4$ — самое выгодное для нас разложение числа 4. В остальных случаях мы не сможем получить минимальное число.

Поскольку в результате работы алгоритма нам необходимо получить 274, исходя из разложений, получим ответ — 1439.

Проверим его: $1 ⋅ 4 = 4, 3 ⋅ 9 = 27,$ запишем результаты в порядке убывания: 274.

Ответ: 1439

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 75#7516Максимум баллов за задание: 1

Автомат получает на вход четырехзначное число. По этому числу строится новое число по следующим правилам.

1. Перемножаются первая и вторая, а также третья и четвертая цифры исходного числа.

2. Полученные два числа записываются друг за другом в порядке убывания (без разделителей).

Пример. Исходное число: 2491. Произведения: $2 ⋅ 4 = 8;9 ⋅ 1 = 9.$ Результат: 98.

Укажите наименьшее число, в результате обработки которого автомат выдаст число 326.

Показать ответ и решение

Решение программой:

В этой задаче нам требуется найти наименьшее четырёхзначное число, которое после обработки по правилам автомата даст число 326. Алгоритм обработки состоит в том, что сначала мы берём исходное число и выделяем его отдельные цифры: первую, вторую, третью и четвёртую. Для удобства работы с цифрами мы преобразуем число в строку через str(k), чтобы можно было обращаться к каждому символу строки по индексу, а затем используем int(s[i]), чтобы преобразовать символ обратно в целое число для вычислений. После этого мы вычисляем произведение первой и второй цифры (int(s[0]) * int(s[1])) и произведение третьей и четвёртой цифры (int(s[2]) * int(s[3])).

Следующий этап — формирование нового числа. Поскольку правила требуют записывать произведения в порядке убывания, мы используем функцию max для большего произведения и min для меньшего. Чтобы соединить эти два числа в одно, мы преобразуем их в строки через str(...) и объединяем с помощью +, после чего снова преобразуем результат в целое число через int(...). Таким образом, мы получаем число, которое соответствует работе автомата: сначала идёт большее произведение, затем меньшее, без каких-либо разделителей.

Для поиска наименьшего числа, которое даёт результат 326, мы перебираем все четырёхзначные числа с помощью цикла for k in range(1000, 10000). Для каждого числа проверяем, совпадает ли сформированное число с требуемым результатом. Если совпадение найдено, мы сохраняем это число в переменную min_k и сразу прерываем цикл через break, так как нас интересует именно наименьшее подходящее число. После завершения цикла выводим найденное число через print(min_k).

min_k = None  # Инициализируем переменную для хранения наименьшего подходящего числа
for k in range(1000, 10000):  # Перебираем все четырёхзначные числа от 1000 до 9999 включительно
    s = str(k)  # Преобразуем число в строку, чтобы обращаться к отдельным цифрам по индексам
    first_prod = int(s[0]) * int(s[1])  # Перемножаем первую и вторую цифры исходного числа
    second_prod = int(s[2]) * int(s[3])  # Перемножаем третью и четвёртую цифры исходного числа
    result = int(str(max(first_prod, second_prod)) + str(min(first_prod, second_prod)))
    # Формируем новое число: сначала большее произведение, затем меньшее, без разделителей
    if result == 326:  # Проверяем, совпадает ли полученное число с требуемым результатом
        min_k = k  # Сохраняем найденное число как наименьшее подходящее
        break  # Прерываем цикл, так как наименьшее число найдено
print(min_k)  # Выводим наименьшее число, которое при обработке даёт 326

Решение руками:

Максимальное значение, которое можно получить при перемножении двух цифр, — 81. Поэтому разобьем результат работы алгоритма на числа, не превышающие 81, записанные в порядке убывания: 32|6.

Теперь подберем наиболее выгодное для нас разложение числа 32. Наша задача подобрать такое разложение, чтобы одно из чисел в произведении было минимальным:

Разложения, в которых участвуют цифры больше 9 нам не подходят.

Значит, $4 ⋅ 8 = 32$ — самое выгодное для нас разложение числа 32. В остальных случаях мы не сможем получить минимальное число.

Теперь подберем наиболее выгодное для нас разложение числа 6. Наша задача подобрать такое разложение, чтобы одно из чисел в произведении было минимальным:

$6 ⋅ 1 = 6$ — самое выгодное для нас разложение числа 6. В остальных случаях мы не сможем получить минимальное число.

Поскольку в результате работы алгоритма нам необходимо получить 326, исходя из разложений, получим ответ — 1648.

Проверим его: $1 ⋅ 6 = 6, 4 ⋅ 8 = 32,$ запишем результаты в порядке убывания: 326.

Ответ: 1648

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 76#7533Максимум баллов за задание: 1

Автомат получает на вход четырехзначное число $k$ . По этому числу строится новое число $M$ по таким правилам:

Повторяется $n$ раз:

Последняя цифра числа увеличивается на единицу;
Последняя цифра числа переставляется в начало числа;

Вывод получившегося числа $M$ .

Примечание: В процессе работы алгоритма не должно происходить ситуаций переполнения (когда последняя цифра числа $9$ и она увеличивается на единицу). Если происходит переполнение, то число $M$ считается ошибочным (недействительным) при данном числе $k$ .

Пример: при исходных числах $k = 3672$ и $n = 3$ автомат выведет число $7833$ .

Укажите наименьшее число $k$ такое, что при $n = 6$ сумма цифр числа $M$ равна $31$ , и третья цифра числа $M$ равна $8$ .

Показать ответ и решение

Решение программой:

В этой задаче нам необходимо найти наименьшее четырёхзначное число, которое после шести последовательных преобразований по правилам автомата даст число M, у которого сумма цифр равна 31, а третья цифра равна 8. Сначала мы перебираем все возможные четырёхзначные числа с помощью цикла for i in range(1000, 10000), чтобы проверить каждое число на соответствие условиям. Для удобной работы с цифрами мы преобразуем число в список отдельных цифр через list(map(int, str(i))). Это позволяет нам обращаться к каждой цифре по индексу и изменять её значение в процессе итераций.

Далее мы выполняем последовательные n = 6 преобразований. Каждое преобразование состоит из увеличения последней цифры на единицу и перестановки этой последней цифры в начало числа. Перед увеличением последней цифры мы проверяем, не равна ли она 9, чтобы избежать переполнения: если последняя цифра равна 9, преобразование прерывается и число считается недействительным для данного i. Если переполнения нет, мы увеличиваем последнюю цифру на 1 (n[-1] += 1) и переставляем её в начало списка через срез [n[-1]] + n[:-1]. Для контроля количества успешных преобразований мы используем счётчик counter, увеличивая его на единицу при каждом успешном шаге.

После завершения шести итераций (если ни одно преобразование не вызвало переполнения) мы проверяем условия задачи: сумма всех цифр числа должна быть равна 31 (sum(n) == 31), третья цифра числа должна быть равна 8 (n[2] == 8), и все 6 итераций должны были быть успешными (counter == 6). Если все эти условия выполняются, мы выводим найденное число i с помощью print(i) и прерываем цикл через break, так как нас интересует именно наименьшее число, удовлетворяющее условиям.

for i in range(1000, 10000):  # Перебираем все четырёхзначные числа от 1000 до 9999 включительно
    n = list(map(int, str(i)))  # Преобразуем число i в список отдельных цифр для удобной работы с ними
    counter = 0  # Инициализируем счётчик успешных итераций без переполнения
    for j in range(6):  # Выполняем 6 последовательных преобразований числа
        if n[-1] == 9:  # Проверяем, равна ли последняя цифра 9, чтобы избежать переполнения
            break  # Если переполнение возможно, прекращаем преобразования
        else:
            n[-1] += 1  # Увеличиваем последнюю цифру на единицу
            n = [n[-1]] + n[:-1]  # Переставляем последнюю цифру в начало списка, остальные сдвигаются вправо
            counter += 1  # Увеличиваем счётчик успешных преобразований
    if sum(n) == 31 and n[2] == 8 and counter == 6:
        # Проверяем все условия задачи: сумма цифр, третья цифра и успешные 6 итераций
        print(i)  # Выводим найденное число, если все условия выполняются
        break  # Прерываем цикл, так как наименьшее подходящее число найдено

Решение руками:

Запишем исходное число $k$ в таком виде: $x1 : x2 : x3 : x4$ .

Если $n = 6$ , то новое число будет представлено в виде $(x3 + 2 ) : (x4 + 2) : (x1 + 1) : (x2 + 1 )$ . Заметим, что сумма цифр нового числа $M$ на $n$ больше чем сумма цифр исходного числа $k$ . Тогда сумма цифр исходного числа $k$ есть $25$ . Также заметим, что если на третьей позиции в числе $M$ стоит $8$ , то верно $x1 + 1 = 8$ , откуда $x1 = 7$ ; Значит, необходимо подобрать такие $x2,x3,x4$ , чтобы их сумма была равна $18$ , и число $k$ было минимально при этом $x4 < 9,$ а $x2, x3 < 8.$ Подбор можно осуществить, постепенно уменьшая $x4$ , начиная с 8, и подбирая $x1$ и $x2$ под это значение $x1$ так, чтобы сумма была равна 18, и при это не было переполнения разрядов. Таким образом, первое значение $k$ , у которого $x < 9, 4$ а $x ,x < 8 2 3$ , и нет переполнения разрядов, будет равно $7477$ (число $M = 9985$ ). Так как мы перебирали снизу и ничего улучшить уже нельзя (переставить цифры, например, чтобы уменьшить), это и есть ответ.

Ответ: 7477

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 77#7537Максимум баллов за задание: 1

Автомат получает на вход пятизначное число. По этому числу строится новое число по таким правилам:

1. Складываются квадраты цифр, стоящих на нечетных позициях (пусть нумерация идет с левой цифры);

2. Складываются квадраты цифр, стоящих на четных позициях;

3. Затем в порядке возрастания записываются эти суммы.

Укажите наименьшее число, при вводе которого автомат выдает число 4141.

Показать ответ и решение

Решение программой:

В этой задаче нам необходимо найти наименьшее пятизначное число, которое после обработки по правилам автомата даст число M, равное 4141. Для этого мы перебираем все пятизначные числа от 10000 до 99999 с помощью цикла for k in range(10000, 100000). Для удобства работы с отдельными цифрами каждого числа мы преобразуем число в строку s = str(k), а затем используем индексы строки, чтобы обратиться к конкретной цифре.

Следующим шагом мы вычисляем две суммы квадратов цифр: для нечётных позиций (первой, третьей и пятой цифр) мы возводим соответствующие цифры в квадрат и складываем их (int(s[0]) ** 2 + int(s[2]) ** 2 + int(s[4]) ** 2), а для чётных позиций (второй и четвёртой цифр) выполняем аналогичное действие (int(s[1]) ** 2 + int(s[3]) ** 2). Эти две суммы представляют собой промежуточные результаты, которые затем нужно записать в порядке возрастания. Мы используем функцию min() для выбора меньшей суммы и max() для большей суммы, формируя новое число через конкатенацию строк str(min(odd_sum, even_sum)) + str(max(odd_sum, even_sum)) и затем преобразуем результат обратно в число через int().

После формирования числа мы проверяем, совпадает ли полученное число с целевым значением 4141. Если это так, мы сохраняем исходное число k как min_k и прерываем цикл через break, так как нас интересует именно наименьшее число, которое даёт нужный результат. Наконец, найденное число выводится с помощью print(min_k).

min_k = None  # Инициализируем переменную для хранения наименьшего числа, которое удовлетворяет условиям
for k in range(10000, 100000):  # Перебираем все пятизначные числа от 10000 до 99999 включительно
    s = str(k)  # Преобразуем число в строку для удобного обращения к отдельным цифрам по индексам
    odd_sum = int(s[0]) ** 2 + int(s[2]) ** 2 + int(s[4]) ** 2  # Суммируем квадраты цифр на нечётных позициях (1, 3, 5)
    even_sum = int(s[1]) ** 2 + int(s[3]) ** 2  # Суммируем квадраты цифр на чётных позициях (2, 4)
    result = int(str(min(odd_sum, even_sum)) + str(max(odd_sum, even_sum)))
    # Формируем новое число: сначала меньшая сумма, затем большая, без разделителей
    if result == 4141:  # Проверяем, совпадает ли полученное число с требуемым результатом
        min_k = k  # Если да, сохраняем текущее число как наименьшее подходящее
        break  # Прерываем цикл, так как найдено наименьшее число, удовлетворяющее условиям
print(min_k)  # Выводим найденное число

Решение руками:

Сумма квадратов 3 чисел принадлежит промежутку [0,243], а сумма квадратов 2 чисел промежутку [0,162]. В соответствие с этими правилами число 4141 разбивается на числа 41 и 41. Всего на нечетных позициях в пятизначном числе стоит 3 цифры, на четных - 2 цифры. Определим сначала, какие цифры могут стоять на четных позициях. Это можно сделать с помощью перебора всех комбинаций x и y, которые являются решениями уравнения $x2 + y2 = 41.$ Оба числа x и y не могут превышать значения 6, так что перебор не будет большим. В результате получаем комбинацию {4, 5}. Теперь найдем комбинацию цифр, которые должны стоять на нечетных позициях. Для этого положим три различные переменные в новое уравнение:

$x2 + y2 + z2 = 41$

Рассмотрим случай $x = y = z$ . Целых решений для x в уравнении $3x2 = 41$ нет, поскольку 3 не является делителем 41.

Далее рассмотрим $x = y.$

Необходимо подобрать такое значение z, чтобы полуразность 41 и квадрата z была квадратом какого-либо натурального числа. Перебором приходим к выводу, что если $z = 3,$ то $2x2 = 41 − 9 = 32, x2 = 16, x = 4.$

Мы нашли частное решение 34454, рассмотрим последний случай, когда x, y и z различны между собой.

Чтобы нашлось число меньше, нужно, чтобы одна из переменных была меньше, чем 3.

Допустим, $x = 2,$ тогда $y2 + z2 = 41,$ а это, как мы знаем, может быть только при $y = 5$ и $z = 4,$ или наоборот, при $z = 5,y = 4.$

Проверим, что будет при x = 1. Перебором приходим к выводу, что уравнение $2 2 y + z = 40$ верно только для комбинации решений {6, 2}.

Таким образом, располагая цифры в порядке возрастания, имеем число 14256. Первую цифру меньше получить уже нельзя, поскольку иначе выйдет 4-значное число, 2 и 4 цифры нельзя взять меньше из-за единственности решения уравнения $2 2 x + y = 41$ на множестве натуральных чисел, 3 и 5 цифры аналогично из-за единственности решения уравнения $2 2 x + y = 40.$

Ответ: 14256

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 78#7538Максимум баллов за задание: 1

Автомат получает на вход пятизначное число. По этому числу строится новое число по таким правилам:

1. Складываются квадраты цифр, стоящих на нечетных позициях (пусть нумерация идет с левой цифры);

2. Складываются квадраты цифр, стоящих на четных позициях;

3. Затем в порядке возрастания записываются эти суммы.

Укажите наибольшее число, при вводе которого автомат выдает число 5085.

Показать ответ и решение

Решение программой:

В этой задаче нам необходимо найти наибольшее пятизначное число, которое после обработки по правилам автомата даст число M, равное 5085. Для этого мы используем цикл for k in range(99999, 9999, -1), который перебирает все пятизначные числа в убывающем порядке, начиная с 99999 и заканчивая 10000 включительно, чтобы первым найденным числом сразу оказался наибольший вариант. Для удобного обращения к каждой цифре числа мы преобразуем его в строку с помощью s = str(k). Это позволяет использовать индексы строки для выбора конкретных цифр: 0 — первая цифра, 1 — вторая, 2 — третья, 3 — четвёртая, 4 — пятая.

Далее мы вычисляем две суммы квадратов цифр: первая сумма odd_sum складывает квадраты цифр на нечётных позициях (1-я, 3-я и 5-я цифры), что реализуется через выражение int(s[0]) ** 2 + int(s[2]) ** 2 + int(s[4]) ** 2. Вторая сумма even_sum складывает квадраты цифр на чётных позициях (2-я и 4-я цифры) с помощью int(s[1]) ** 2 + int(s[3]) ** 2. После получения этих двух сумм мы формируем новое число, записывая сначала меньшую сумму, затем большую, без разделителей, с помощью конструкции str(min(odd_sum, even_sum)) + str(max(odd_sum, even_sum)) и затем преобразуем результат обратно в целое число через int().

На последнем шаге проверяем, совпадает ли сформированное число с целевым значением 5085. Если условие выполняется, мы сохраняем текущее число k в переменную max_k и прерываем цикл с помощью break, поскольку интересует именно наибольшее число. После завершения цикла найденное число выводится на экран с помощью print(max_k).

max_k = None  # Инициализируем переменную для хранения наибольшего числа, которое удовлетворяет условиям
for k in range(99999, 9999, -1):  # Перебираем все пятизначные числа в убывающем порядке
    s = str(k)  # Преобразуем число в строку для удобного обращения к отдельным цифрам по индексам
    odd_sum = int(s[0]) ** 2 + int(s[2]) ** 2 + int(s[4]) ** 2  # Складываем квадраты цифр на нечётных позициях (1, 3, 5)
    even_sum = int(s[1]) ** 2 + int(s[3]) ** 2  # Складываем квадраты цифр на чётных позициях (2, 4)
    result = int(str(min(odd_sum, even_sum)) + str(max(odd_sum, even_sum)))
    # Формируем новое число: сначала меньшая сумма, затем большая, без разделителей
    if result == 5085:  # Проверяем, совпадает ли полученное число с требуемым результатом
        max_k = k  # Если да, сохраняем текущее число как наибольшее подходящее
        break  # Прерываем цикл, так как найдено наибольшее число, удовлетворяющее условиям
print(max_k)  # Выводим найденное число

Решение руками:

Сумма квадратов 3 чисел принадлежит промежутку [0,243], а сумма квадратов 2 чисел промежутку [0,162]. В соответствие с этими правилами число 5085 разбивается на числа 50 и 85. Всего на нечетных позициях в пятизначном числе стоит 3 цифры, на четных - 2 цифры.

Определим сначала, какие цифры могут стоять на четных позициях. Это можно сделать с помощью перебора всех комбинаций x и y, которые являются решениями уравнения $x2 + y2 = N.$ Потенциально самое большое значение наибольшего разряда может быть в решении уравнения с суммой квадратов неизвестных, равных наибольшему из найденных ранее чисел, т.е. 85. Тогда положим, что $N = 50,$ чтобы в уравнении для цифр на нечетных позициях можно было задать более высокую верхнюю границу и в перспективе получить максимально возможную первую цифру. В текущем же уравнении для цифр на четных позициях оба числа x и y не могут превышать значения 7. Сразу же можно увидеть подходящую комбинацию {7, 1}. Искать другие смысла нет, поскольку мы получили наибольшее возможное значение для второго разряда - 7, уравнение будет неразрешимо при x или y больших 7, а при иных комбинациях в ответе получим число с меньшим итоговым значением, чем если на втором месте будет стоять 7.

Теперь найдем комбинацию цифр, которые должны стоять на нечетных позициях. Для этого положим три различные переменные в новое уравнение:

$x2 + y2 + z2 = 85$

Рассмотрим случай $x = y = z$ . Целых решений для x в уравнении $3x2 = 85$ нет, поскольку 3 не является делителем 85.

Перейдем сразу к случаю, когда x, y и z различны между собой.

Допустим, $z = 0,$ тогда $x2 + y2 = 85,$ тогда мы можем получить наибольшее значение для одной из цифр, т.е. $x = 9, y = 2$ .

Больше комбинации {9, 2, 0} мы найти уже не сможем, мы и так максимально “занулили” одну из цифр в угоду увеличения другой.

Таким образом, располагая цифры двух групах четности позиций в порядке убывания, получим число 97210. Больше первой цифры быть не может, поскольку иначе произойдет переполнение число станет 6-значным. Из-за фиксации первой цифры, нельзя изменить и другие на нечетных позициях, разве что в сторону уменьшения итогового числа, аналогично с цифрами на четных позициях - для них и так взята самая выгодная комбинация и обе цифры расположены наиболее подходящим образом. Таким образом, больше 97210 числа не получить.

Ответ: 97210

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 79#7539Максимум баллов за задание: 1

Автомат получает на вход пятизначное число. По этому числу строится новое число по таким правилам:

1. Складываются квадраты цифр, стоящих на нечетных позициях;

2. Складываются квадраты цифр, стоящих на четных позициях;

3. Затем в порядке возрастания записываются эти суммы.

Укажите наименьшее число, при вводе которого автомат выдает число 2597.

Показать ответ и решение

Решение программой:

В этой задаче нам необходимо найти наименьшее пятизначное число, которое после обработки по правилам автомата даст число 2597. Для этого мы используем цикл for k in range(10000, 100000), который перебирает все пятизначные числа в порядке возрастания, начиная с 10000 и заканчивая 99999 включительно, чтобы первым найденным числом сразу оказалось наименьшее подходящее. Для удобного обращения к каждой цифре числа мы преобразуем его в строку с помощью s = str(k). Это позволяет использовать индексы строки для выбора конкретных цифр: 0 — первая цифра, 1 — вторая, 2 — третья, 3 — четвёртая, 4 — пятая.

Далее мы вычисляем две суммы квадратов цифр: первая сумма odd_sum складывает квадраты цифр на нечётных позициях (1-я, 3-я и 5-я цифры), что реализуется через выражение int(s[0]) ** 2 + int(s[2]) ** 2 + int(s[4]) ** 2. Вторая сумма even_sum складывает квадраты цифр на чётных позициях (2-я и 4-я цифры) с помощью int(s[1]) ** 2 + int(s[3]) ** 2. После получения этих двух сумм мы формируем новое число, записывая сначала меньшую сумму, затем большую, без разделителей, с помощью конструкции str(min(odd_sum, even_sum)) + str(max(odd_sum, even_sum)) и затем преобразуем результат обратно в целое число через int().

На последнем шаге проверяем, совпадает ли сформированное число с целевым значением 2597. Если условие выполняется, мы сохраняем текущее число k в переменную min_k и прерываем цикл с помощью break, поскольку интересует именно наименьшее число. После завершения цикла найденное число выводится на экран с помощью print(min_k).

min_k = None  # Инициализируем переменную для хранения наименьшего числа, которое удовлетворяет условиям
for k in range(10000, 100000):  # Перебираем все пятизначные числа в порядке возрастания
    s = str(k)  # Преобразуем число в строку для удобного обращения к отдельным цифрам по индексам
    odd_sum = int(s[0]) ** 2 + int(s[2]) ** 2 + int(s[4]) ** 2  # Складываем квадраты цифр на нечётных позициях (1, 3, 5)
    even_sum = int(s[1]) ** 2 + int(s[3]) ** 2  # Складываем квадраты цифр на чётных позициях (2, 4)
    result = int(str(min(odd_sum, even_sum)) + str(max(odd_sum, even_sum)))
    # Формируем новое число: сначала меньшая сумма, затем большая, без разделителей
    if result == 2597:  # Проверяем, совпадает ли полученное число с требуемым результатом
        min_k = k  # Если да, сохраняем текущее число как наименьшее подходящее
        break  # Прерываем цикл, так как найдено наименьшее число, удовлетворяющее условиям
print(min_k)  # Выводим найденное число

Решение руками:

Сумма квадратов 3 чисел принадлежит промежутку [0,243], а сумма квадратов 2 чисел промежутку [0,162]. В соответствие с этими правилами число разбивается на число 25 и 97.

Есть 2 варианта: сумма квадратов цифр на четных местах равна 25, тогда сумма квадратов цифр на нечетных равна 97, и наоборот. Запишем эти варианты в виде систем уравнений, опишем алгоритм для одной системы и используем его для второй.

{ 2 2 x1 + y1 = 25 x22 + y22 + z22 = 97

{ x2 + y2 = 97 12 12 2 x2 + y2 + z2 = 25

Рассмотрим систему (1). Для получения как можно меньшего числа желательно, чтобы на первых местах стояли самые маленькие цифры, а далее - какие возможны при сочетании с предыдущими в паре или тройке.

Переменные x и y с индексами 1 обозначают комбинацию для цифр, стоящих на четных местах. На второе место нужно поставить наименьшую цифру из комбинации, на четвертое - оставшуюся. Будем начинать с $x1 = 0$ и смотреть, можно ли к нему подобрать такое $y1$ , чтобы получилось верное равенство. Сразу же можно заметить, что для $x1 = 0 y1 = 5$ .

Теперь проделаем подобные действия для уравнения с тремя переменными, но будем начинать с $x2 = 1,$ т.к. 0 нельзя поставить на первое место.

При $x2 = 1 y22 + z22 = 96.$ Уравнение неразрешимо для натуральных чисел.

При $x2 = 2 y22 + z22 = 93.$ Уравнение также неразрешимо.

Так далее увеличивая $x2$ на единицу дойдем до первого разрешимого уравнения. Значение $x2$ , при котором это уравнение было получено, будет самым подходящим. Уже из уравнения для двух переменных найдем комбинацию по аналогичному способу для цифр, стоящих на четных местах.

Таким образом, подходящая комбинация для цифр, стоящих на нечетных местах, будет такая: {4,9,0}. Из системы (1) мы получили решение 40059.

Пройдемся по системе (2) с помощью алгоритма, описанного выше, получим комбинацию {4,9} для цифр, стоящих на четных местах, и комбинацию {3,0,4} для цифр, стоящих на нечетных местах. Соберем цифры в число и получим 34094, это число меньше найденного ранее 40059, значит именно 34094 пойдет в ответ.

Ответ: 34094

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 80#7543Максимум баллов за задание: 1

Автомат получает на вход пятизначное число. По этому числу строится новое число по таким правилам:

Складываются квадраты цифр, стоящих на нечетных позициях;
Складываются квадраты цифр, стоящих на четных позициях;
Затем в порядке неубывания записываются эти суммы.

Укажите наименьшее число, при вводе которого автомат выдает число 72128.

Показать ответ и решение

Решение прогой

В этой задаче нам необходимо найти наименьшее пятизначное число, которое после обработки по правилам автомата даст число 72128. Для этого мы используем цикл for i in range(10 ** 4, 10 ** 5), который перебирает все пятизначные числа начиная с 10000 и заканчивая 99999 включительно, чтобы при первом успешном совпадении найденное число сразу было наименьшим. Для удобства работы с цифрами каждого числа мы преобразуем текущее число в строку с помощью x = str(i). Это позволяет использовать индексы строки: 0 — первая цифра, 1 — вторая, 2 — третья, 3 — четвёртая, 4 — пятая, и легко извлекать отдельные цифры для вычислений.

Далее мы вычисляем две суммы квадратов цифр: сумма sumOddPos складывает квадраты цифр на нечётных позициях (1-я, 3-я и 5-я цифры), что реализуется через выражение int(x[0]) ** 2 + int(x[2]) ** 2 + int(x[4]) ** 2, а сумма sumEvenPos складывает квадраты цифр на чётных позициях (2-я и 4-я цифры) с помощью int(x[1]) ** 2 + int(x[3]) ** 2. После получения этих сумм формируем новое число, записывая сначала меньшую сумму, затем большую, без разделителей, с помощью конструкции str(min(sumOddPos, sumEvenPos)) + str(max(sumOddPos, sumEvenPos)). Полученный результат преобразуем обратно в строку, чтобы его можно было напрямую сравнивать с требуемым числом "72128".

На последнем шаге проверяем, совпадает ли сформированное число с целевым значением "72128". Если условие выполняется, мы выводим текущее число i с помощью print(i) и прерываем цикл через break, так как нам нужно именно наименьшее число, удовлетворяющее условию.

for i in range(10 ** 4, 10 ** 5):  # Перебираем все пятизначные числа от 10000 до 99999 включительно
    x = str(i)  # Преобразуем число в строку, чтобы можно было обратиться к отдельным цифрам по индексам
    sumOddPos = int(x[0]) ** 2 + int(x[2]) ** 2 + int(x[4]) ** 2
    # Складываем квадраты цифр на нечётных позициях (1, 3, 5)
    sumEvenPos = int(x[1]) ** 2 + int(x[3]) ** 2
    # Складываем квадраты цифр на чётных позициях (2, 4)
    num = str(min(sumOddPos, sumEvenPos)) + str(max(sumOddPos, sumEvenPos))
    # Формируем новое число: сначала меньшая сумма, затем большая, без разделителей
    if num == "72128":  # Проверяем, совпадает ли полученное число с требуемым результатом
        print(i)  # Если совпадает, выводим текущее число
        break  # Прерываем цикл, так как найдено наименьшее число, удовлетворяющее условиям

Решение аналитически

Сумма квадратов $3$ чисел принадлежит промежутку [0,243], а сумма квадратов $2$ чисел промежутку [0,162]. В соответствие с этими правилами число 72128 разбивается на числа $72$ и $128$ . Всего на нечетных позициях в пятизначном числе стоит $3$ цифры, на четных — $2$ цифры.

Определим сначала, какие цифры могут стоять на четных позициях. Это можно сделать с помощью перебора всех комбинаций x и y, которые являются решениями уравнения $x2 + y2 = N.$ Потенциально самое большое значение наименьшего разряда (а соответственно и самое маленькое значение наибольшего разряда) может быть в решении уравнения с суммой квадратов неизвестных, равных наибольшему из найденных ранее чисел, т.е. $128$ . Тогда положим, что $N = 72,$ чтобы в уравнении для цифр на нечетных позициях можно было задать более высокую верхнюю границу и в перспективе поставить самую большую цифру в разряд единиц, а самую маленькую - в разряд десятков тысяч. В текущем же уравнении для цифр на четных позициях $x2 + y2 = 72$ оба числа x и y не могут превышать значения 8. Подходящей (и единственной) комбинацией является {6, 6}.

Теперь найдем комбинацию цифр, которые должны стоять на нечетных позициях. Для этого положим три различные переменные в новое уравнение:

$x2 + y2 + z2 = 128$

Рассмотрим случай $x = y = z$ . Целых решений для $x$ в уравнении $2 3x = 128$ нет, поскольку $3$ не является делителем $128$ .

Далее рассмотрим $x = y.$ Необходимо подобрать такое значение $z$ , чтобы полуразность $128$ и квадрата $z$ была квадратом какого-либо натурального числа. Перебором приходим к выводу, что если $z = 0,$ то $2 2 2x = 128, x = 64, x = 8.$

Мы нашли частное решение 86860, рассмотрим последний случай, когда $x,y$ и $z$ различны между собой.

Будем брать $z = 9, 8,7...$ и таким образом искать случай, при котором можно будет получить такую сумму квадратов $x2 + y2,$ что одна из переменных $x$ или $y$ была бы меньше $8$ , а далее и меньше найденных в процессе цифр.

Если $z = 9,$ тогда $2 2 x + y = 128 − 81 = 47$ . Подходящих решений нет.

Если $z = 8,$ тогда $x2 + y2 = 128 − 64 = 64$ . Этот вариант уже был рассмотрен ранее.

Если $z = 7,$ тогда $x2 + y2 = 128 − 49 = 79$ . Подходящих решений нет.

Далее вплоть до $z = 0$ мы так и не найдем подходящих решений.

В таком случае поменяем константы в уравнениях для цифр на четных и нечетных позициях. Пусть для четных $x2 + y2 = 128,$ а для нечетных $x2 + y2 + z2 = 72$ . Пройдемся заново по тому же алгоритму. Для четных получим комбинацию {8,8}, а для нечетных {8,2,2}.

Таким образом, мы нашли наименьшее число $28288$ .

Ответ: 28288