14.01 Арифметические выражения

Решение программой

Для подсчёта количества троек в 4-ричной записи числа необходимо написать алгоритм перевода исходного числа в 4-ричную систему счисления. Для перевода реализуем в программе стандартный алгоритм перевода числа из десятичной системы счисления в другую, но мы не будем записывать цифры в строку, а будем уведичивать счётчик в том случае, если будет появляться цифра 3.

# Исходное выражение
num = 4**103 + 3*4**444 - 2*4**44 + 128

# Переменная для подсчёта количества цифр ’3’ в 4-ричной системе
ans = 0

# Перевод числа из десятичной системы в 4-ричную и подсчёт цифр ’3’
while num > 0:
    # Если последняя цифра равна 3, увеличиваем счётчик
    ans += 1 * (num % 4 == 3)
    # Отбрасываем последнюю цифру (целочисленное деление на 4)
    num //= 4

# Вывод количества цифр ’3’ в 4-ричной записи числа
print(ans)

Решение руками:

Каждое из чисел либо приведем к виду и упорядочим по убыванию степеней. После чего внутри четверичной сс выполним все арифметические операции и получим ответ.

В результате сложения первых двух членов получаем число из 445 цифр, в котором первая слева цифра - тройка, 104 справа цифра - единица, остальные - нули. Чтобы вычесть число, в котором 45 цифр, из которых первая слева - двойка, а остальные нули, займем из 104 разряда.

    300...01000...000...00000
   -               20...00000
    -------------------------
    300...00333...320...00000

Таким образом, 104 разряд справа превратиться в 0, цифры от 104 до 45 разряда станут тройками, в 45 разряде произойдет вычитание и получится двойка. Остальные цифры останутся неизменными. Произведем сложение последнего члена, зная, что

    300...00333...320...00000
   +                     2000
    -------------------------
    300...00333...320...02000

Итого цифра 3 стоит в первом разряде слева, и от 103 до 45 разряда невключительно справа (58 цифр) Тогда получаем ответ: 59 троек.