14.01 Арифметические выражения

Решение Python:

a = 2**43 + 2**14 + 2
# Перевод выражения в 4сс
s = ’’
while a > 0:
    s = str(a % 4) + s
    a //= 4
s1 = int(s)
count = 0
# Подсчет количества цифр, отличных от нули
while s1 > 0:
    if s1 % 10 != 0:
        count += 1
    s1 //= 10
print(count)

Решение руками:

Переведём данную сумму в удобную форму для основания 4 нашей системы счисления:

Соответственно, число имеет вид , где 2 стоит в первом разряде, 1 стоит в восьмом разряде, и 2 стоит в 22 разряде. Таким образом, ровно три цифры отличны от нуля в четверичной записи данного числа.

Решение аналитически

Для начала стоить отметить, что любое десятичное число A в n-ой степени можно записать как единицу и n нулей в системе счисления с основанием A:
Так как нас просят узнать количество четверок в пятеричной системе, представим все числа как степени пятерки, а 117, поскольку оно не является степенью пятерки, переведем в пятеричную систему счисления, получим:

Для начала выполним сложение:

Вычтем из полученного 432:

Примечание: при вычитании в недесятичной системе счисления, мы занимаем не “десяток”, а само основание системы счисления. В данном примере из второй единицы(она стоит в 6 разряде) мы занимаем пять в соседний разряд, и затем из полученной “пятерки” занимаем в следующий разряд, таким образом продолжая до последней цифры.

Решение программой

def transfer_to_5(x):
    s = ’’
    while x != 0:
        s = str(x % 5) + s
        x //= 5
    return s


print(transfer_to_5(5**14 + 25**3 - 117).count(’4’))

Решение Python:

a = 25**20 + 5**15 - 125**3
# Перевод выражения в 5сс
s = ’’
while a > 0:
    s = str(a % 5) + s
    a //= 5
print(s.count(’4’))

Решение руками:

Приведем к общему основанию:

Переведем в пятиричную систему счисления и получим:

Решение Python:

a = 6**2020 + 36**34 - 216**12
# Перевод выражения в 6сс
s = ’’
while a > 0:
    s = str(a % 6) + s
    a //= 6
print(s.count(’5’))

Решение руками:

Приведем к общему основанию:

Переведем в шестиричную систему счисления и получим:

Решение Python:

a = 9**215 + 27**65 - 81**4
# Перевод выражения в 3сс
s = ’’
while a > 0:
    s = str(a % 3) + s
    a //= 3
print(s) # Убеждаемся, что нет незначащих нулей
print(s.count(’0’))

Решение руками:

Приведем к общему основанию:

Переведем в троичную систему счисления и получим:

Решение Python:

a = 9**6 + 81**8 - 32
# Перевод выражения в 9сс
s = ’’
while a > 0:
    s = str(a % 9) + s
    a //= 9
print(s) # Убеждаемся, что нет незначащих нулей
print(s.count(’0’))

Решение руками:

Приведем к общему основанию:

Переведем в девятиричную систему счисления и получим:

Решение Python:

a = 15**19 + 15**9 - 322
# Перевод выражения в 15сс
s = ’’
while a > 0:
    s = str(a % 15) + s
    a //= 15
print(s) # Убеждаемся, что нет незначащих нулей
print(s.count(’0’))

Решение руками:

Переведем в систему счисления равную 15 и получим:

Решение Python:

a = 16**6 + 16**13 - 289
# Перевод выражения в 16сс
s = []
while a > 0:
    s.append(a % 16)
    a //= 16
print(s.count(15))

Решение руками:

Переведем в систему счисления равную 16 и получим:

Получаем, что количество равно 4.

Решение Python:

a = 9**9 + 9**24 - 8582
# Перевод выражения в 9сс
s = ’’
while a > 0:
    s = str(a % 9) + s
    a //= 9
print(s.count(’8’))

Решение руками:

Переведем в систему счисления равную 9 и получим:

Решение Python:

a = 6**120 + 36**3 - 160
# Перевод выражения в 6сс
s = ’’
while a > 0:
    s = str(a % 6) + s
    a //= 6
print(s.count(’5’))

Решение руками:

Для начала стоит отметить, что любое число А в n-ой степени можно записать как единицу и n нулей в системе счисления с основанием A:

Так как нас просят узнать количество пятерок в шестеричной системе, представим все числа как степени шестерки. Также переведём 160 в шестеричную систему счисления, из чего получим:

Выполним сложение:

Вычтем из полученного 424:

В записи 3 пятёрки.

Решение Python:

a = 3**15 + 9**3 + 81**2 + 17
# Перевод выражения в 3сс
s = ’’
while a > 0:
    s = str(a % 3) + s
    a //= 3
print(s.count(’2’))

Решение руками:

Для начала стоить отметить, что любое десятичное число A в n-ой степени можно записать как единицу и n нулей в системе счисления с основанием A:

Так как нас просят узнать количество двоек в троичной системе, представим все числа как степени тройки, а 17, поскольку оно не является степенью тройки, перевдем в троичную систему счисления, получим:

Тогда наше выражение имеет вид:

Так как – это единицы с некоторым количеством нулей, при их сложении получится число, у которого в конце более трёх нулей, значит, при сложении с в итоговом числе будет две двойки.

Решение Python:

a = 13**14 + 13**35 - 547
# Перевод выражения в 13сс
s = []
while a > 0:
    s.append(a % 13)
    a //= 13
print(s.count(12))

Решение руками:

Переведем в систему счисления с основанием и получим:

Решение Python:

a = 25**20 + 5**15 - 125**3
# Перевод выражения в 5сс
s = ’’
while a > 0:
    s = str(a % 5) + s
    a //= 5
print(s.count(’4’))

Решение руками:

Приведем к общему основанию:

Переведем в пятеричную систему счисления и получим:

Решение Python:

#Способ 1
a = bin(2**43 + 2**14 + 2)[2:]
print(a.count(’1’))

#Способ 2
a = 2**43 + 2**14 + 2
# Перевод выражения в 2сс
s = ’’
while a > 0:
    s = str(a % 2) + s
    a //= 2
print(s.count(’1’))

Решение руками:

В двоичной системе счисления, любое число вида имеет вид , где после единицы идёт ровно нулей. Соответственно, сумма не создаст переполнения ни в одном разряде, и будет иметь вид с единицами ровно на 44, 15 и 2 месте.

Решение Python:

# Способ 1
a = bin(2**100 + 2**48 + 2**32 + 2**13 + 2**7 + 2 + 1)[2:]
print(a.count(’1’))

# Способ 2

a = 2**100 + 2**48 + 2**32 + 2**13 + 2**7 + 2 + 1
# Перевод выражения в 2сс
s = ’’
while a > 0:
    s = str(a % 2) + s
    a //= 2
print(s.count(’1’))

Решение руками:

В двоичной системе счисления, любое число вида имеет вид , где после единицы идёт ровно нулей. Соответственно, сумма не создаст переполнения ни в одном разряде, и будет иметь вид с единицами ровно на 101, 49, 33, 14, 8, 2 и 1 месте.

Решение Python:

a = int(oct(2**100 + 2**48 + 2**32 + 2**13 + 2**7 + 2 + 1)[2:])
c = 0
while a > 0:
    if a % 10 != 0:
        c += 1
    a //= 10
print(c)

Решение руками:

Переведём данную сумму в удобную форму для основания 8 нашей системы счисления:

Соответственно, число имеет вид , где 3 стоит в первом разряде, 2 стоит в третьем разряде, 2 стоит в пятом разряде, 4 стоит в 11 разряде, 1 стоит в 17 разряде, 2 стоит в 34 разряде. Таким образом, ровно 6 цифр отличны от нуля в восьмеричной записи данного числа.

Решение Python:

# Способ 1
a = bin(2**1024 + 4**5 + 2)[2:]
print(a.count(’1’))

# Способ 2

a = 2**1024 + 4**5 + 2
# Перевод выражения в 2сс
s = ’’
while a > 0:
    s = str(a % 2) + s
    a //= 2
print(s.count(’1’))

Решение руками:

Для начала стоить отметить, что любое десятичное число A в n-ой степени можно записать как единицу и n нулей в системе счисления с основанием A:
Так как нас просят узнать количество единиц в двоичной системе, представим все числа как степени двойки, получим: В двоичной системе счисления эта запись выглядит так:
Далее выполняем сложение и наглядно получаем ответ:

Решение Python:

a = 3**2019 + 27**7 + 3
s = ’’
while a > 0:
    s = str(a % 3) + s
    a //= 3
print(s.count(’1’))

Решение руками:

Для начала стоить отметить, что любое десятичное число A в -ой степени можно записать как единицу и нулей в системе счисления с основанием A:

Так как нас просят узнать количество единиц в троичной системе, представим все числа как степени тройки, получим: . В троичной системе счисления эта запись выглядит так: .

Далее выполняем сложение и наглядно получаем ответ:

Решение Python:

a = 3**2051 + 81**6 + 8
s = ’’
while a > 0:
    s = str(a % 3) + s
    a //= 3
print(s.count(’1’))

Решение руками:

Для начала стоить отметить, что любое десятичное число A в -ой степени можно записать как единицу и нулей в системе счисления с основанием A:

Так как нас просят узнать количество единиц в троичной системе, представим все числа как степени тройки, получим: . В троичной системе счисления эта запись выглядит так: .

Далее выполняем сложение и наглядно получаем ответ:

Решение Python:

a = 5**50 + 25**3 - 125
s = ’’
while a > 0:
    s = str(a % 5) + s
    a //= 5
print(s.count(’4’))

Решение руками:

Для начала стоить отметить, что любое десятичное число A в -ой степени можно записать как единицу и нулей в системе счисления с основанием A:

Так как нас просят узнать количество четверок в пятеричной системе, представим все числа как степени пятерки, получим: .

Для начала выполним сложение:

Вычтем из полученного :

Примечание: при вычитании в недесятичной системе счисления, мы занимаем не “десяток”, а само основание системы счисления. В данном примере из второй единицы (она стоит в 6 разряде) мы занимаем пять в соседний разряд, и затем из полученной “пятерки” занимаем в следующий разряд, таким образом продолжая до разряда, под которым стоит единица другого числа.