14.01 Арифметические выражения

Решение программно:

Для подсчёта количества единиц в двоичной записи числа необходимо написать алгоритм перевода исходного числа в двоичную систему счисления. Для перевода реализуем в программе стандартный алгоритм деления числа на основание системы счисления (в данном случае на 2) с сохранением остатков. Каждый остаток соответствует одной цифре двоичной записи числа. Чтобы посчитать количество нулей, на каждом шаге проверяем остаток: если он равен 0, увеличиваем счётчик. Таким образом, после полного разложения числа в двоичной системе счисления в счётчике будет содержаться количество нулей в его двоичной записи.

# Исходное выражение
a = 4**512 + 8**512 - 2**128 - 250

# Переменная для подсчёта количества нулей в двоичной записи числа
k = 0

# Перевод числа в двоичную систему и подсчёт количества нулей
while a > 0:
    # Проверяем последнюю цифру (остаток от деления на 2) — если она равна 0, увеличиваем счётчик
    k += (a % 2 == 0)
    # Отбрасываем последнюю цифру (целочисленное деление на 2)
    a //= 2

# Вывод количества нулей в двоичной записи числа
print(k)

Решение руками:

Каждое из чисел приведем к виду . После чего внутри двоичной сс выполним все арифметические операции и получим ответ.

В результате сложения первых двух членов получим число, состоящее из 1537 цифр, в котором первая цифра слева - единица, 1025 цифра справа - единица, а остальные цифры - нули. Чтобы вычесть число, представляющее собой одну единицу и 128 нулей, займем из 1025 разряда:

    100...010...0000...000
   -              10...000
    ----------------------
    100...001...1110...000

Таким образом, 1025 справа цифра станет нулем, цифры от 1025 до 129 разряда станут единицами, в 129 разряде произойдет вычитание и останется 1. Остальные цифры будут неизменны. Чтобы вычесть число, представляющее собой одну единицу и 8 нулей, займем из 129 разряда:

    100...001...1110...0000000000
   -                    100000000
    -----------------------------
    100...001...1101...1100000000

Таким образом, 130 справа цифра станет нулем, цифры от 130 до 9 разряда станут единицами, в 9 разряде произойдет вычитание и останется 1. Остальные цифры будут неизменны. Выполним сложение, зная, что :

    100...001...1101...1100000000
   +                          110
    -----------------------------
    100...001...1101...1100000110

Нули стоят на позициях от 1536 до 1024 разряда справа невключительно (512 цифр), в 129 разряде (1 цифра), от 8 до 3 разряда справа невключительно (5 цифр), в последнем разряде. Суммарно: .