14.01 Арифметические выражения

Решение программой

Для подсчёта количества нулей в двоичной записи числа сначала вычисляем значение выражения. Затем переводим результат в двоичную систему с помощью функции bin(). Префикс 0b, который добавляет bin(), убираем срезом [2:]. После этого с помощью метода count() подсчитываем количество символов ’0’ в полученной двоичной строке и выводим результат.

# Исходное выражение
s = 2**7 + 2**4 - 9

# Перевод числа в двоичную систему и подсчёт количества нулей
# bin(s)[2:] — преобразует число в строку двоичного представления без префикса ’0b’
print(bin(s)[2:].count(’0’))

Решение программой

Для подсчёта количества единиц в двоичной записи числа необходимо написать алгоритм перевода исходного числа в двоичную систему счисления. Для перевода реализуем в программе стандартный алгоритм перевода числа из десятичной системы счисления в другую.

# Исходное выражение
s = 4**19 + 2**8 + 31

# Строка для хранения двоичной записи числа
a = ’’

# Перевод числа из десятичной системы в двоичную
while s > 0:
    # Добавляем последнюю цифру двоичной записи в начало строки
    a = str(s % 2) + a
    # Отбрасываем последнюю цифру (целочисленное деление на 2)
    s //= 2

# Подсчёт и вывод количества единиц в двоичной записи числа
print(a.count(’1’))
\textbf{Решение руками:}

Представим все числа в виде: $2̂n$

$4̂{19} = 2̂{38}$

$31 = 2̂4 + 2̂3 + 2̂2 + 2̂1 + 2̂0$

Получим:
$$
2̂{38}+2̂8+2̂4+2̂3+2̂2+2̂1+2̂0 = 1\underbrace{000...000}_{29}100011111
$$

Количество единиц: $7$

Решение программой

Для подсчёта количества троек в 5-ричной записи числа необходимо написать алгоритм перевода исходного числа в 5-ричную систему счисления. Для перевода реализуем в программе стандартный алгоритм перевода числа из десятичной системы счисления в другую. Потом подсчитаем количество троек при помощи метода count().

# Исходное выражение
s = 25**20 + 4 * 5**11 - 2

# Строка для хранения цифр числа в 5-ричной системе
a = ’’

# Перевод числа из десятичной системы в 5-ричную
while s > 0:
    # Добавляем последнюю цифру числа в 5-ричной системе в начало строки
    a = str(s % 5) + a
    # Отбрасываем последнюю цифру (целочисленное деление на 5)
    s //= 5

# Подсчёт и вывод количества цифр ’3’ в 5-ричной записи числа
print(a.count(’3’))

Решение руками:

Представим все числа в виде:

Получим:

Вычтем:

Количество троек:

Решение программой

Для подсчёта количества нулей в двоичной записи числа реализуется функция x_10_to_n(x, n), которая переводит число x из десятичной системы в систему счисления с основанием n. В функции на каждом шаге берётся остаток от деления на n (последняя цифра в новой системе), результат сохраняется в список, затем число уменьшается целочисленным делением на n. После завершения цикла цифры переворачиваются, чтобы получить правильный порядок записи.

Таким образом, вызов x_10_to_n(s, 2) формирует список цифр двоичной записи числа s. С помощью метода count(0) подсчитывается количество нулей в этом списке, и результат выводится на экран.

# Функция для перевода числа x из десятичной системы в систему счисления с основанием n
def x_10_to_n(x, n):
    digits = []  # список для хранения цифр числа в новой системе
    while x > 0:
        # Добавляем остаток от деления на n (цифру в системе счисления с основанием n)
        digits.append(x % n)
        # Отбрасываем последнюю цифру (целочисленное деление на n)
        x //= n
    # Разворачиваем список, чтобы цифры шли от старшей к младшей
    digits.reverse()
    return digits

# Исходное выражение
s = 8**2020 + 4**2017 + 26 - 1

# Перевод числа s в двоичную систему и подсчёт количества нулей
print(x_10_to_n(s, 2).count(0))

Решение программой

Для подсчёта количества единиц в двоичной записи числа необходимо сначала реализовать стандартный алгоритм перевода числа из десятичной системы в двоичную. На каждом шаге берём последнюю цифру числа (остаток от деления на 2) и проверяем, равна ли она 1. Если да — увеличиваем счётчик. После этого отбрасываем последнюю цифру целочисленным делением на 2. В конце выводим общее количество единиц.

# Исходное выражение
a = 2**5 + 2**5 + 2**2

# Переменная для подсчёта количества единиц в двоичной записи числа
c = 0

# Перевод числа в двоичную систему и подсчёт единиц
while a > 0:
    # Если последняя цифра числа в двоичной системе равна 1, увеличиваем счётчик
    if a % 2 == 1:
        c += 1
    # Отбрасываем последнюю цифру (целочисленное деление на 2)
    a //= 2

# Вывод количества единиц в двоичной записи числа
print(c)

Решение руками:

Немного преобразовав выражение, переведём числа в выражении в двоичную систему счисления.

Следовательно, ответ 2.

Решение программой

Для подсчёта количества нулей в двоичной записи числа необходимо сначала реализовать стандартный алгоритм перевода числа из десятичной системы в двоичную. На каждом шаге берём последнюю цифру числа (остаток от деления на 2) и проверяем, равна ли она 0. Если да — увеличиваем счётчик. После этого отбрасываем последнюю цифру целочисленным делением на 2. В конце выводим общее количество нулей.

# Исходное выражение
a = 2**7 + 2**4 - 9

# Переменная для подсчёта количества нулей в двоичной записи числа
c = 0

# Перевод числа в двоичную систему и подсчёт нулей
while a > 0:
    # Если последняя цифра числа в двоичной системе равна 0, увеличиваем счётчик
    if a % 2 == 0:
        c += 1
    # Отбрасываем последнюю цифру (целочисленное деление на 2)
    a //= 2

# Вывод количества нулей в двоичной записи числа
print(c)

Решение программой

Для подсчёта количества единиц в двоичной записи числа необходимо сначала реализовать стандартный алгоритм перевода числа из десятичной системы в двоичную. На каждом шаге берём последнюю цифру числа (остаток от деления на 2) и проверяем, равна ли она 1. Если да — увеличиваем счётчик. После этого отбрасываем последнюю цифру целочисленным делением на 2. В конце выводим общее количество единиц.

# Исходное выражение
a = 4**19 + 2**8 + 31

# Переменная для подсчёта количества единиц в двоичной записи числа
c = 0

# Перевод числа в двоичную систему и подсчёт единиц
while a > 0:
    # Если последняя цифра числа в двоичной системе равна 1, увеличиваем счётчик
    if a % 2 == 1:
        c += 1
    # Отбрасываем последнюю цифру (целочисленное деление на 2)
    a //= 2

# Вывод количества единиц в двоичной записи числа
print(c)

Решение руками:

Представим все числа в виде:

Получим:

Количество единиц:

Решение программой

Для подсчёта количества цифр 3 в 5-ричной записи числа реализуется функция x_10_to_n(x, n), которая переводит число x из десятичной системы в систему счисления с основанием n. В функции на каждом шаге берётся остаток от деления на n (последняя цифра в новой системе) и добавляется в список digits, после чего число уменьшается целочисленным делением на n. После завершения цикла список переворачивается, чтобы цифры шли в правильном порядке.

Вызов x_10_to_n(s, 5) формирует список цифр 5-ричной записи числа s. С помощью метода count(3) подсчитывается количество цифр 3 в этом списке, и результат выводится на экран.

# Функция для перевода числа x из десятичной системы в систему счисления с основанием n
def x_10_to_n(x, n):
    digits = []  # список для хранения цифр числа в новой системе
    while x > 0:
        # Добавляем остаток от деления на n (цифру в системе счисления с основанием n)
        digits.append(x % n)
        # Отбрасываем последнюю цифру (целочисленное деление на n)
        x //= n
    # Разворачиваем список, чтобы цифры шли от старшей к младшей
    digits.reverse()
    return digits

# Исходное выражение
s = 25**20 + 4 * 5**11 - 2

# Перевод числа s в 5-ричную систему и подсчёт количества цифр ’3’
print(x_10_to_n(s, 5).count(3))

Решение руками:

Представим все числа в виде:

Получим:

Вычтем:

Количество троек:

Решение программой

Для подсчёта количества нулей в двоичной записи числа реализуется функция x_10_to_n(x, n), которая переводит число x из десятичной системы в систему счисления с основанием n. В функции на каждом шаге берётся остаток от деления на n (последняя цифра в новой системе) и добавляется в список digits, после чего число уменьшается целочисленным делением на n. После завершения цикла список переворачивается, чтобы цифры шли в правильном порядке.

Вызов x_10_to_n(s, 2) формирует список цифр двоичной записи числа s. С помощью метода count(0) подсчитывается количество нулей в этом списке, и результат выводится на экран.

# Функция для перевода числа x из десятичной системы в систему счисления с основанием n
def x_10_to_n(x, n):
    digits = []  # список для хранения цифр числа в новой системе
    while x > 0:
        # Добавляем остаток от деления на n (цифру в системе счисления с основанием n)
        digits.append(x % n)
        # Отбрасываем последнюю цифру (целочисленное деление на n)
        x //= n
    # Разворачиваем список, чтобы цифры шли от старшей к младшей
    digits.reverse()
    return digits

# Исходное выражение
s = 8**2020 + 4**2017 + 26 - 1

# Перевод числа s в двоичную систему и подсчёт количества нулей
print(x_10_to_n(s, 2).count(0))

Решение программой

Для подсчёта количества нулей в 27-ричной записи числа необходимо сначала реализовать стандартный алгоритм перевода числа из десятичной системы в систему с основанием 27. На каждом шаге берём последнюю цифру числа (остаток от деления на 27) и проверяем, равна ли она 0. Если да — увеличиваем счётчик. После этого отбрасываем последнюю цифру целочисленным делением на 27. В конце переменная c содержит общее количество нулей в 27-ричной записи числа, и результат выводится на экран.

# Исходное выражение
k = 6 * 3 ** 1520 + 9 ** 321 + 3 ** 407 - 2022

# Переменная для подсчёта количества цифр ’0’ в 27-ричной системе
c = 0

# Перевод числа из десятичной системы в 27-ричную и подсчёт цифр ’0’
while k > 0:
    # Если последняя цифра числа в 27-ричной системе равна 0, увеличиваем счётчик
    if k % 27 == 0:
        c += 1
    # Отбрасываем последнюю цифру (целочисленное деление на 27)
    k //= 27

# Вывод количества цифр ’0’ в 27-ричной записи числа
print(c)

Решение руками:

Первым шагом необходмо преобразовать выражение так, чтобы в степень возводилось число 27:

Переведем в систему счисления с основанием и получим:

Решение программой

Для подсчёта количества единиц в двоичной записи числа реализуется стандартный алгоритм перевода числа из десятичной системы в двоичную. На каждом шаге берётся остаток от деления числа на 2 (последняя двоичная цифра) и добавляется в начало строки res, чтобы сохранить правильный порядок цифр. После этого число уменьшается целочисленным делением на 2. В конце с помощью метода count() подсчитывается количество единиц в сформированной двоичной строке, и результат выводится на экран.

# Исходное выражение
n = 2 ** 2023 + 2 ** 2022 - 2 ** 1000

# Строка для хранения двоичной записи числа
res = ’’

# Перевод числа из десятичной системы в двоичную
while n != 0:
    # Добавляем последнюю цифру двоичной записи в начало строки
    res = str(n % 2) + res
    # Отбрасываем последнюю цифру (целочисленное деление на 2)
    n //= 2

# Подсчёт и вывод количества единиц в двоичной записи числа
print(res.count(’1’))

Решение программой

Для подсчёта количества цифр 3 в 7-ричной записи числа необходимо сначала реализовать стандартный алгоритм перевода числа из десятичной системы в 7-ричную. На каждом шаге берётся последняя цифра числа (остаток от деления на 7) и проверяется, равна ли она 3. Если да — увеличиваем счётчик ans. После этого число уменьшается целочисленным делением на 7.В конце переменная ans содержит общее количество цифр 3 в 7-ричной записи числа, и результат выводится на экран.

# Исходное выражение
n = 2 ** 1000 + 2 ** 123 - 2 ** 812 + 845

# Переменная для подсчёта количества цифр ’3’ в 7-ричной системе
ans = 0

# Перевод числа из десятичной системы в 7-ричную и подсчёт цифр ’3’
while n > 0:
    # Если последняя цифра числа в 7-ричной системе равна 3, увеличиваем счётчик
    ans += (n % 7 == 3)
    # Отбрасываем последнюю цифру (целочисленное деление на 7)
    n //= 7

# Вывод количества цифр ’3’ в 7-ричной записи числа
print(ans)

Решение программой

Чтобы найти количества нулей в 6-ричной записи числа, домножим каждое слагаемое на 6 в максимальной противоположной отрицательной степени. Далее необходимо реализовать стандартный алгоритм перевода числа из десятичной системы в 6-ричную. На каждом шаге берётся последняя цифра числа (остаток от деления на 6) и добавляется в начало строки s, чтобы сохранить правильный порядок цифр. После этого число уменьшается целочисленным делением на 6. В конце с помощью метода count(’0’) подсчитывается количество нулей в сформированной 6-ричной строке, и результат выводится на экран.

# Исходное выражение, домноженное на 6 в максимальной противоположной отрицательной степени
a = (36 ** 7) * (6 ** 14) + 6 ** (19 + 14) - 18 * (6 ** 14) + \
    3 * 6 ** (-10 + 14) + 5 * 6 ** (-14 + 14)

# Строка для хранения цифр числа в 6-ричной системе
s = ’’

# Перевод числа из десятичной системы в 6-ричную
while a > 0:
    # Добавляем последнюю цифру числа в 6-ричной системе в начало строки
    s = str(a % 6) + s
    # Отбрасываем последнюю цифру (целочисленное деление на 6)
    a //= 6

# Подсчёт и вывод количества цифр ’0’ в 6-ричной записи числа
print(s.count(’0’))

Решение программой:

Для подсчёта количества цифр 3 в 4-ричной записи числа еобходимо сначала реализовать стандартный алгоритм перевода числа из десятичной системы в 4-ричную. На каждом шаге берётся последняя цифра числа (остаток от деления на 4) и проверяется, равна ли она 3. Если да — увеличиваем счётчик c. После этого число уменьшается целочисленным делением на 4. В конце переменная c содержит общее количество цифр 3 в 4-ричной записи числа, и результат выводится на экран.

# Исходное выражение
s = 16**22 * 4**8 - 4**4 - 64

# Переменная для подсчёта количества цифр ’3’ в 4-ричной системе
c = 0

# Перевод числа из десятичной системы в 4-ричную и подсчёт цифр ’3’
while s > 0:
    # Если последняя цифра числа в 4-ричной системе равна 3, увеличиваем счётчик
    if s % 4 == 3:
        c += 1
    # Отбрасываем последнюю цифру (целочисленное деление на 4)
    s = s // 4

# Вывод количества цифр ’3’ в 4-ричной записи числа
print(c)

Решение руками:

Первым шагом необходмо преобразовать выражение так, чтобы в степень возводилось число 4:

Переведем в систему счисления с основанием и получим:

Решение программой

Для подсчёта количества нулей в 7-ричной записи числа необходимо сначала реализовать стандартный алгоритм перевода числа из десятичной системы в 7-ричную. На каждом шаге берётся последняя цифра числа (остаток от деления на 7) и добавляется в начало строки m. После этого число уменьшается целочисленным делением на 7. В конце с помощью метода count() подсчитывается количество нулей в сформированной 7-ричной строке, и результат выводится на экран.

# Исходное выражение
s = 49**12 + 7**10 - 28

# Строка для хранения цифр числа в 7-ричной системе
m = ’’

# Перевод числа из десятичной системы в 7-ричную
while s > 0:
    # Добавляем последнюю цифру числа в 7-ричной системе в начало строки
    m = str(s % 7) + m
    # Отбрасываем последнюю цифру (целочисленное деление на 7)
    s = s // 7

# Подсчёт и вывод количества цифр ’0’ в 7-ричной записи числа
print(m.count(’0’))

Решение руками:

Представим все числа в виде:

Получим:

Вычтем:

Количество нулей:

Решение программой

Для подсчёта количества цифр 6 в 7-ричной записи числа необходимо сначала реализовать стандартный алгоритм перевода числа из десятичной системы в 7-ричную. На каждом шаге берётся последняя цифра числа (остаток от деления на 7) и добавляется в начало строки m. После этого число уменьшается целочисленным делением на 7. В конце с помощью метода count() подсчитывается количество цифр 6 в сформированной 7-ричной строке, и результат выводится на экран.

# Исходное выражение
s = 6 * 343**6 + 5 * 49**7 - 40

# Строка для хранения цифр числа в 7-ричной системе
m = ’’

# Перевод числа из десятичной системы в 7-ричную
while s > 0:
    # Добавляем последнюю цифру числа в 7-ричной системе в начало строки
    m = str(s % 7) + m
    # Отбрасываем последнюю цифру (целочисленное деление на 7)
    s = s // 7

# Подсчёт и вывод количества цифр ’6’ в 7-ричной записи числа
print(m.count(’6’))

Решение программой

Для подсчёта количества единиц в двоичной записи числа сначала вычисляем значение выражения. Затем переводим число в двоичную систему с помощью функции bin(). Префикс 0b, который добавляет bin(), отбрасываем срезом [2:]. После этого с помощью метода count() подсчитываем количество единиц в двоичной строке и выводим результат.

# Исходное выражение
s = 4**2023 + 8**200 - 2**50 - 26

# Перевод числа в двоичную систему и подсчёт количества единиц
# bin(s)[2:] — преобразует число в строку двоичного представления без префикса ’0b’
print(bin(s)[2:].count(’1’))

Решение программой

Для подсчёта количества единиц в двоичной записи числа реализуется стандартный алгоритм перевода числа из десятичной системы в двоичную. На каждом шаге берётся остаток от деления числа на 2 (последняя двоичная цифра) и добавляется в конец строки s. После этого число уменьшается целочисленным делением на 2. В конце с помощью метода count() подсчитывается количество единиц в сформированной двоичной строке, и результат выводится на экран.

# Исходное выражение
x = 16**1010 + 4**2017 - 2**90

# Строка для хранения двоичной записи числа (цифры добавляются в обратном порядке)
s = ’’

# Перевод числа из десятичной системы в двоичную
while x != 0:
    # Добавляем последнюю цифру двоичной записи к строке
    s += str(x % 2)
    # Отбрасываем последнюю цифру (целочисленное деление на 2)
    x //= 2

# Подсчёт и вывод количества единиц в двоичной записи числа
print(s.count("1"))

Решение программой

Для подсчёта суммы цифр числа в 5-ричной системе необходимо сначала реализовать стандартный алгоритм перевода числа из десятичной системы в 5-ричную. На каждом шаге берётся последняя цифра числа (остаток от деления на 5) и добавляется к счётчику r. После этого число уменьшается целочисленным делением на 5. В конце переменная r содержит сумму всех цифр числа в 5-ричной записи, и результат выводится на экран.

# Исходное выражение
s = 4 * 25**4 - 5**4 + 14

# Переменная для подсчёта суммы цифр числа в 5-ричной системе
r = 0

# Перевод числа из десятичной системы в 5-ричную и подсчёт суммы цифр
while s > 0:
    # Прибавляем последнюю цифру числа в 5-ричной системе (остаток от деления на 5)
    r += s % 5
    # Отбрасываем последнюю цифру (целочисленное деление на 5)
    s = s // 5

# Вывод суммы цифр числа в 5-ричной системе
print(r)

Решение программой

Для подсчёта суммы цифр числа в 8-ричной системе необходимо сначала реализовать стандартный алгоритм перевода числа из десятичной системы в восьмеричную. На каждом шаге берётся последняя цифра числа (остаток от деления на 8) и добавляется к счётчику sm. После этого число уменьшается целочисленным делением на 8. В конце переменная sm содержит сумму всех цифр числа в 8-ричной записи, и результат выводится на экран.

# Исходное выражение
s = (2**345 + 8**65 - 4**130) * (8**123 - 2**89 + 4**45)

# Переменная для подсчёта суммы цифр числа в 8-ричной системе
sm = 0

# Перевод числа из десятичной системы в 8-ричную и подсчёт суммы цифр
while s > 0:
    # Прибавляем последнюю цифру числа в 8-ричной системе (остаток от деления на 8)
    sm += s % 8
    # Отбрасываем последнюю цифру (целочисленное деление на 8)
    s //= 8

# Вывод суммы цифр числа в 8-ричной системе
print(sm)