15.01 Деление без остатка

Решение 1 (руками)

1. Для того чтобы формула была тождественно истинна, необходимо, чтобы при (то есть не делится на ), выполнялось условие (то есть не делится на 21 и 35).

2. Таким образом, любое число , которое не делится на , не должно делиться на 21 и 35 одновременно. Это означает, что все числа , которые делятся на 21 или на 35, должны делиться на . То есть, должно быть делителем чисел, кратных 21 или 35.

3. Найдем наименьшее общее кратное (НОК) чисел 21 и 35:

Это означает, что все числа, которые делятся на 21 или на 35, также делятся на 105.

4. Следовательно, максимальное значение , которое делит все числа, кратные 21 или 35, является наибольшим делителем 105. Наибольший такой делитель — это , так как является наибольшим общим делителем чисел 21 и 35.

Ответ: .

Решение 2 (прогой)

Для нахождения наибольшего натурального числа , при котором формула

тождественно истинна для всех натуральных , используем программный перебор. Идея заключается в том, чтобы проверить все возможные значения в разумном диапазоне через цикл for. Для каждого перебираем все натуральные и от до . Для каждой тройки вычисляем логическое выражение. Если хотя бы для одного (и ) выражение оказывается ложным, текущее отбрасываем. Если выражение истинно для всех , считаем подходящим. В конце цикла выводим найденное наибольшее .

# перебор возможных значений A в широком диапазоне
for a in range(-1000, 1000):
    c = 0  # флаг: 0 - условие выполняется для всех x и y, 1 - хотя бы один случай нарушает
    for x in range(1, 1000):  # перебираем натуральные x
        for y in range(1, 1000):  # вложенный цикл, проверка по y для совместимости с оригиналом
            # проверяем, ложное ли выражение для текущих x, y и A
            if (x % A != 0) <= ((x % 6 == 0) <= (x % 9 != 0)) == False:
                c = 1  # если выражение ложно, ставим флаг
                break  # прерываем внутренний цикл по y
        if c == 1:  # если флаг поднят, прерываем внешний цикл по x
            break
    # если флаг остался 0, выражение истинно для всех x
    if c == 0:
        print(a)  # выводим найденное наибольшее A
        break  # прекращаем поиск после нахождения первого подходящего A