15.01 Деление без остатка

Решение 1 (ручками)

Составим систему для тех случаев, когда выражение тождественно ложно:

Отсюда следует, что обязательно должен делиться на .

Нам требуется взять наибольшее , чтобы система была всегда ложна, то есть при любом множество решений системы пусто. Для этого достаточно взять . Заметим, что если в качестве взять, например, , то система будет истина, если взять .

Решение 2 (прогой)

Для нахождения наибольшего натурального числа , при котором формула

тождественно истинна для всех натуральных , используем программный перебор. Идея заключается в том, чтобы проверить все возможные значения в убывающем порядке с помощью цикла for. Для каждого перебираем все значения от до . Для каждого вычисляем логическое выражение. Если хотя бы для одного выражение оказалось ложным, текущее отбрасываем. Если выражение истинно для всех , считаем подходящим. В конце цикла первый найденный будет наибольшим, удовлетворяющим условию, и выводим его.

# функция проверяет выполнение выражения для конкретного x и A
def f(x, A):
    return (x % A != 0) <= ((x % 21 != 0) and (x % 35 != 0))

# перебор возможных значений A в убывающем порядке
for A in range(10000, 0, -1):
    met_false = False  # флаг: False - выражение выполняется для всех x, True - хотя бы один x нарушает
    for x in range(1000):  # перебор натуральных x
        # если выражение ложно для текущего x
        if not(f(x, A)):
            met_false = True  # отмечаем нарушение
    # если выражение истинно для всех x
    if not(met_false):
        print(A)  # выводим наибольшее подходящее A
        break  # прекращаем поиск после нахождения первого подходящего A