15.01 Деление без остатка

Решение руками:

Введем обозначения:

Таким образом истиным для всех должно быть выражение . Упростим это выражение, раскрыв импликации: .

Из этой формулы видно, что множество должно перекрыть множество, которое не перекрыто множеством . Предположим, что , отсюда , значит, множество ложно, когда число делится и на 24, и на 77. Найдем НОК чисел 24 и 72, оно равно 72. Значит число 72 должно делиться на А без остатка, тогда наибольшее возможное А это 72.

Решение программой:

Для нахождения наибольшего целого , при котором выражение

тождественно истинно для всех натуральных , используем программный перебор. Идея заключается в том, чтобы проверить все значения от до . Для каждого перебираем все от до и вычисляем формулу. Если хотя бы для одного выражение оказалось ложным, текущее отбрасываем. Если формула выполняется для всех , сохраняем найденное значение. В конце получаем наибольшее подходящее .

# перебор возможных значений A от 1 до 199
for a in range(1, 200):
    # флаг: 0 - формула выполняется для всех x, 1 - хотя бы один x нарушает
    f = 0
    # перебор всех x от 1 до 499
    for x in range(1, 500):
        # проверяем выполнение логического выражения при данных x и A
        if ((x % 24 == 0) <= ((x % 72 == 0) <= (x % a == 0))) == False:
            # если формула оказалась ложной, фиксируем нарушение и прекращаем проверку
            f = 1
            break
    # если формула выполняется для всех x, выводим найденное A
    if f == 0:
        print(a)

Получаем ответ: