15.01 Деление без остатка

Решение руками:

Введем обозначения:

Таким образом истиным для всех должно быть выражение .Упростим это выражение, раскрыв импликацию: .

Из этой формулы видно, что множество должно перекрыть множество, которое не перекрыто множеством . Множество – это множество всех чисел, которые не делятся одновлеменно на 14 и 21. Поэтому чтобы найти наименьшее необходимо найти наименьшее общее кратное чисел 14 и 21 – это 42.

 

Решение программой:

Для нахождения наименьшего натурального числа , при котором формула

тождественно истинна для всех натуральных , используем программный перебор. Идея заключается в том, чтобы проверить все значения от до . Для каждого перебираем от до и проверяем истинность формулы. Если хотя бы для одного выражение оказывается ложным, текущее отбрасываем. Так как нам нужно минимальное , поиск прекращаем сразу после нахождения первого подходящего значения.

for a in range(1, 1500):
    # Переменная-флаг,
    # которой присваивается 1, если хотя бы одно выражение выдаёт ложь
    f = 0
    for x in range(1, 5000):
        # Если выражение ложно(нам нужны только истинные),
        # то приостанавливаем цикл
        if ((x % a == 0) <= ((x % 14 == 0) and (x % 21 == 0))) == False:
            f = 1
            break
    # Так как ищем минимальное значение,
    # то сразу же после его нахождения прерываем цикл
    if f == 0:
        print(a)
        break

Получаем ответ:

Решение руками:

Введем обозначения:

Таким образом истиным для всех должно быть выражение . Упростим это выражение, раскрыв импликацию: .

Из этой формулы видно, что множество должно перекрыть множество, которое не перекрыто множеством . Множество – это множество всех чисел, которые делятся одновременно на 19 и 15. Поэтому чтобы найти наименьшее необходимо найти наименьшее общее кратное чисел 15 и 19 – это 285.

 

Решение программой:

Для нахождения наименьшего натурального числа , при котором формула

тождественно истинна для всех натуральных , используем программный перебор. Идея заключается в том, чтобы проверить все значения от до . Для каждого перебираем от до и проверяем истинность формулы. Если хотя бы для одного выражение оказывается ложным, текущее отбрасываем. Так как нам нужно минимальное , поиск прекращаем сразу после нахождения первого подходящего значения.

# перебор возможных значений A от 1 до 299
for a in range(1, 300):
    # переменная-флаг: 0 - формула истинна для всех x, 1 - хотя бы один x нарушает
    f = 0
    # перебор всех x от 1 до 499
    for x in range(1, 500):
        # проверка формулы для текущего x и A
        if (((x % 19 != 0) or (x % 15 != 0)) <= (x % a != 0)) == False:
            # если формула ложна, отмечаем и прекращаем проверку для этого A
            f = 1
            break
    # если формула истинна для всех x, выводим найденное минимальное A
    if f == 0:
        print(a)

Получаем ответ:

Решение руками:

Введем обозначения:

Таким образом истиным для всех должно быть выражение . Упростим это выражение, раскрыв импликации: .

Из этой формулы видно, что множество должно перекрыть множество, которое не перекрыто множеством . Предположим, что , отсюда , значит, множество ложно, когда число делится и на 24, и на 77. Найдем НОК чисел 24 и 72, оно равно 72. Значит число 72 должно делиться на А без остатка, тогда наибольшее возможное А это 72.

 

Решение программой:

Для нахождения наибольшего целого , при котором выражение

тождественно истинно для всех натуральных , используем программный перебор. Идея заключается в том, чтобы проверить все значения от до . Для каждого перебираем все от до и вычисляем формулу. Если хотя бы для одного выражение оказалось ложным, текущее отбрасываем. Если формула выполняется для всех , сохраняем найденное значение. В конце получаем наибольшее подходящее .

# перебор возможных значений A от 1 до 199
for a in range(1, 200):
    # флаг: 0 - формула выполняется для всех x, 1 - хотя бы один x нарушает
    f = 0
    # перебор всех x от 1 до 499
    for x in range(1, 500):
        # проверяем выполнение логического выражения при данных x и A
        if ((x % 24 == 0) <= ((x % 72 == 0) <= (x % a == 0))) == False:
            # если формула оказалась ложной, фиксируем нарушение и прекращаем проверку
            f = 1
            break
    # если формула выполняется для всех x, выводим найденное A
    if f == 0:
        print(a)

Получаем ответ:

Решение программой:

Для нахождения наименьшего целого , при котором выражение

тождественно истинно для всех натуральных , используем программный перебор. Идея заключается в том, чтобы проверять все значения от до с помощью цикла for. Для каждого перебираем все от до . На каждом шаге вычисляем логическое выражение. Если хотя бы для одного выражение оказалось ложным, данное исключается. Если выражение истинно для всех , найденное является минимально подходящим, и цикл завершается.

# перебор возможных значений A от 1 до 199
for a in range(1, 200):
    # флаг: 0 - формула выполняется для всех x, 1 - найдено нарушение
    f = 0
    # перебор всех x от 1 до 499
    for x in range(1, 500):
        # проверяем выполнение логического выражения при данных x и A
        if (((x % a == 0) and not (x % 22 == 0)) <= \
            ((x % 40 == 0) or (x % 15 == 0))) == False:
            # если формула оказалась ложной, фиксируем нарушение и прекращаем проверку
            f = 1
            break
    # если формула выполняется для всех x, найдено наименьшее подходящее A
    if f == 0:
        print(a)
        break

Получаем ответ:

Решение руками:

Введем обозначения:

Таким образом истиным для всех должно быть выражение .Упростим это выражение, раскрыв импликацию: .

Из этой формулы видно, что множество должно перекрыть множество, которое не перекрыто множеством . Предположим, что , отсюда , значит, множество ложно, когда число делится и на 45, и на 70. Найдем НОК чисел 45 и 70, оно равно 630. Значит 630 должно делиться на А без остатка, тогда наибольшее возможное А это 630.

 

Решение программой:

Для нахождения наибольшего целого , при котором выражение

тождественно истинно для всех натуральных , используем программный перебор. Идея заключается в том, чтобы проверить все значения от до с помощью цикла for. Для каждого перебираем все от до . На каждом шаге вычисляем логическое выражение. Если хотя бы для одного выражение оказалось ложным, текущее исключается. Если же выражение истинно для всех , то такое подходит. В конце работы алгоритма наибольшее найденное будет являться ответом.

# перебор возможных значений A от 1 до 999
for a in range(1, 1000):
    # флаг: 0 - формула выполняется для всех x, 1 - найдено нарушение
    f = 0
    # перебор всех x от 1 до 1499
    for x in range(1, 1500):
        # проверяем выполнение логического выражения при данных x и A
        if (((x % 45 == 0) and (x % 70 == 0)) <= (x % a == 0)) == False:
            # если формула оказалась ложной, фиксируем нарушение и прекращаем проверку
            f = 1
            break
    # если формула выполняется для всех x, выводим найденное A
    if f == 0:
        print(a)

Получаем ответ:

Решение руками

Обозначим элементы выражения как:

Тогда запишем выражение:

Упростим выражение:

Данное выражение должно равняться 1. Найдем случаи, когда известная часть равна 1, а часть с А - 0:

Получается, что максимальное значение А равно НОК(34,51) = 102.

Решение программой:

Для нахождения наименьшего целого , при котором выражение

тождественно истинно для всех натуральных , используем программный перебор. Идея заключается в том, чтобы проверять все возможные значения от до с помощью цикла for. Для каждого перебираем все от до . На каждом шаге вычисляем логическое выражение. Если хотя бы для одного формула ложна, текущее исключается. Если формула оказывается истинной для всех , то такое является подходящим. Так как требуется найти минимальное , алгоритм завершает работу при первой же удачной проверке. В конце работы программы найденное будет являться ответом.

# перебор возможных значений A от 1 до 999
for a in range(1, 1000):
    # флаг: 0 - формула выполняется для всех x, 1 - найдено нарушение
    f = 0
    # перебор всех x от 1 до 1999
    for x in range(1, 2000):
        # проверяем выполнение логического выражения при данных x и A
        if ((x % a == 0) <= ((x % a == 0) <= ((x % 34 == 0) and (x % 51 == 0)))) == False:
            # если формула оказалась ложной, фиксируем нарушение и прекращаем проверку
            f = 1
            break
    # если формула выполняется для всех x, выводим найденное минимальное A
    if f == 0:
        print(a)
        break

Получаем ответ:

Решение программой:

Для нахождения наибольшего целого , при котором выражение

тождественно истинно для всех натуральных , используем программный перебор. Идея заключается в том, чтобы проверить все значения от до с помощью цикла for. Для каждого перебираем все значения от до . На каждом шаге вычисляем логическое выражение. Если хотя бы для одного формула оказывается ложной, текущее исключается. Если формула остаётся истинной для всех , то это является подходящим. Так как требуется найти наибольшее , программа проходит весь диапазон и фиксирует максимальное значение, при котором условие выполняется. В конце работы найденное является ответом.

# перебор возможных значений A от 1 до 1499
for a in range(1, 1500):
    # флаг: 0 - формула выполняется для всех x, 1 - найдено нарушение
    f = 0
    # перебор всех x от 1 до 4999
    for x in range(1, 5000):
        # проверка логического выражения при текущих a и x
        if ((a < 500) and ((x % 5 == 0) <= ((x % a == 0) or (x % 25 == 0)))) == False:
            # если формула оказалась ложной, фиксируем нарушение и прерываем цикл
            f = 1
            break
    # если выражение истинно для всех x, выводим наибольшее подходящее A
    if f == 0:
        print(a)

Получаем ответ:

Решение программой:

Для нахождения наименьшего целого , при котором выражение

тождественно истинно для всех натуральных , используем программный перебор. Идея заключается в том, чтобы проверить все значения начиная с с помощью цикла for. Для каждого перебираем все значения от до . На каждом шаге вычисляем логическое выражение. Если хотя бы для одного формула оказывается ложной, текущее исключается. Так как требуется найти минимальное , программа завершает перебор сразу после нахождения первого подходящего значения. В конце работы найденное является ответом.

# перебор возможных значений A начиная с 1
for a in range(1, 1000):
    # флаг: 0 - формула выполняется для всех x, 1 - найдено нарушение
    f = 0
    # перебор всех x от 1 до 1000
    for x in range(1, 1001):
        # проверка логического выражения при текущих a и x
        if ((a % 12 == 0) and ((530 % x == 0) <= ((a % x != 0) <= (170 % x != 0)))) == False:
            # если формула оказалась ложной, фиксируем нарушение и прерываем цикл
            f = 1
            break
    # если выражение истинно для всех x, выводим минимальное подходящее A и прерываем перебор
    if f == 0:
        print(a)
        break

Получается ответ:

Решение руками

Обозначим элементы выражения как:

Тогда запишем выражение:

Упростим выражение:

Данное выражение должно равняться 1. Найдем случаи, когда известная часть равна 0, а часть с А - 1, для этого отрицаем известную часть и ищем когда она равна 1:

Получается, что максимальное значение А равно НОК(18,15) = 90.

Решение программой:

Для нахождения наибольшего целого , при котором выражение

тождественно истинно для всех натуральных , используем программный перебор. Идея заключается в том, чтобы проверять все возможные значения от до с помощью цикла for. Для каждого перебираем все значения от до . На каждом шаге вычисляем логическое выражение. Если хотя бы для одного формула оказывается ложной, текущее отбрасываем. Если же выражение выполняется для всех , текущее является подходящим кандидатом. Так как требуется найти наибольшее , программа продолжает перебор до конца диапазона и в итоге выводит максимальное найденное значение.

# перебор возможных значений A от 1 до 999
for a in range(1, 1000):
    # флаг: 0 - выражение выполняется для всех x, 1 - найдено нарушение
    f = 0
    # перебор всех x от 1 до 1000
    for x in range(1, 1001):
        # проверка логического выражения при текущих a и x
        if (((x % a != 0) and (x % 15 == 0)) <= ((x % 18 != 0) or (x % 15 != 0))) == False:
            # если выражение оказалось ложным, фиксируем нарушение и прерываем цикл
            f = 1
            break
    # если выражение истинно для всех x, выводим текущее подходящее A
    if f == 0:
        print(a)

Получился ответ:

Решение руками

Обозначим элементы выражения как:

Тогда запишем выражение:

Упростим выражение:

Данное выражение должно равняться 1. Найдем случаи, когда известная часть равна 1, а часть с отрицанием А - 0:

Получается, что максимальное значение А равно НОК(19,13) = 247.

Решение программой:

Для нахождения наименьшего целого , при котором выражение

тождественно истинно для всех натуральных , используем программный перебор. Идея заключается в том, чтобы проверять все значения от до с помощью цикла for. Для каждого перебираем все значения от до . На каждом шаге вычисляем логическое выражение. Если хотя бы для одного формула оказывается ложной, текущее отбрасывается. Если же выражение выполняется для всех , текущее является подходящим кандидатом. Так как требуется найти наименьшее , программа останавливает перебор при первой же удачной проверке и выводит найденное значение.

# перебор возможных значений A от 1 до 999
for a in range(1, 1000):
    # флаг: 0 - выражение выполняется для всех x, 1 - найдено нарушение
    f = 0
    # перебор всех x от 1 до 1000
    for x in range(1, 1001):
        # проверка логического выражения при текущих a и x
        if (((x % 19 != 0) or (x % 13 != 0)) <= (x % a != 0)) == False:
            # если выражение оказалось ложным, фиксируем нарушение и прерываем цикл
            f = 1
            break
    # если выражение истинно для всех x, выводим текущее минимальное A и завершаем программу
    if f == 0:
        print(a)
        break

Получаем ответ:

Решение руками:

Раскроем импликацию:

Рассмотрим известную часть. Высказывание дает истину на множетсве  . Всказываение достаточно рассмотреть только на множестве, где высказываение дает ложь; на отрезке все числа, кроме 50, не делятся на 10, то есть дают истину для высказывания .

Из этих рассуждений можно сделать вывод, что высказывание должно давать истину как минимум для значения 50, чтобы все выражение было тождествено истинна. Тогда, наибольшим для которого будет выполняться выражение является .

Решение программой:

Для нахождения наибольшего целого , при котором выражение

тождественно истинно для всех натуральных , используем программный перебор. Идея заключается в том, чтобы проверить все значения от до с помощью цикла for. Для каждого перебираем все от до . На каждом шаге вычисляем логическое выражение. Если хотя бы для одного формула оказывается ложной, текущее отбрасывается. Если же формула истинна для всех , обновляем максимальное найденное значение . В конце цикла это значение и будет искомым наибольшим .

# функция проверяет выполнение выражения при данных x и A
def f(x, A):
    B = [45, 55]
    return (x % A != 0) <= (inn(x, B) <= (x % 10 != 0))

# функция проверяет принадлежность x отрезку B
def inn(x, B):
    return B[0] <= x <= B[1]

# переменная для хранения наибольшего подходящего A
maxim = 0

# перебор возможных значений A от 1 до 299
for A in range(1, 300):
    # флаг: True - выражение выполняется для всех x, False - найдено нарушение
    flag = True
    # перебор всех x от 1 до 499
    for x in range(1, 500):
        # если выражение ложно хотя бы для одного x, фиксируем нарушение
        if not(f(x, A)):
            flag = False
            break
    # если выражение истинно для всех x, обновляем максимум
    if flag:
        maxim = A

# выводим наибольшее подходящее A
print(maxim)

Решение программой:

Для нахождения количества натуральных значений на отрезке , при которых выражение

тождественно истинно для всех натуральных , используем программный перебор. Идея заключается в том, чтобы проверить все значения от до с помощью цикла for. Для каждого перебираем все от до . На каждом шаге проверяем логическую формулу. Если хотя бы для одного формула оказывается ложной, текущее отбрасывается. Если же формула истинна для всех , добавляем в список подходящих значений. В конце цикла длина списка и будет количеством подходящих .

# список для хранения всех подходящих A
cnt = []

# перебор всех натуральных A от 1 до 1000
for a in range(1, 1001):
    # флаг: True - выражение выполняется для всех x, False - хотя бы один случай нарушает
    flag = True
    # перебор всех x от 1 до 10000
    for x in range(1, 10001):
        # если выражение ложно для текущего x, фиксируем нарушение
        if ((a % 7) == 0 and ((240 % x) != 0 or ((a % x) == 0 or (780 % x) != 0))) == False:
            flag = False
            break
    # если выражение истинно для всех x, добавляем A в список
    if flag == True:
        cnt.append(a)

# выводим количество подходящих A
print(len(cnt))

Получаем ответ:

Решение программой:

Для нахождения наименьшего натурального числа , при котором выражение

тождественно истинно для всех натуральных , используем программный перебор. Идея заключается в том, чтобы проверить все значения от до с помощью цикла for. Для каждого перебираем все от до и проверяем истинность формулы. Если хотя бы для одного формула оказывается ложной, текущее отбрасываем. Если же формула истинна для всех , сразу выводим это значение , так как ищем минимальное.

# перебор всех натуральных A от 1 до 1000
for a in range(1, 1001):
    # флаг: True - выражение выполняется для всех x, False - хотя бы один случай нарушает
    flag = True
    # перебор всех x от 1 до 10000
    for x in range(1, 10001):
        # проверка истинности формулы для текущего x
        if ((a % 9 == 0) and ((280 % x == 0 ) <= ((a % x != 0) <= (730 % x != 0)))) == False:
            # если выражение ложно, фиксируем нарушение
            flag = False
            break
    # если формула истинна для всех x, выводим минимальное A и прекращаем поиск
    if flag == True:
        print(a)
        break

Получается ответ:

Решение руками:

Раскроем выражение:

Отрицаем известную часть и получаем, что

То есть x делится на 7 и не делится на 3. Это числа: 7, 14, 28, 35, 49...

Получаем, что наименьшее А, при котором выражение верно: , значит, , то есть .

 

Решение программой:

Решение: Для нахождения наименьшего натурального числа , при котором выражение

тождественно истинно для всех натуральных , используем программный перебор. Идея заключается в том, чтобы проверить все значения от до с помощью цикла for. Для каждого перебираем все от до и проверяем истинность формулы. Если хотя бы для одного формула оказывается ложной, текущее отбрасываем. Если формула истинна для всех , выводим это значение , так как ищем минимальное.

# перебор всех натуральных A от 1 до 999
for a in range(1, 1000):
    c = 0 # флаг: 0 - выражение выполняется для всех x, 1 - хотя бы один случай нарушает
    # перебор всех x от 1 до 999
    for x in range(1, 1000):
        # проверка истинности формулы для текущего x
        if (((x % 3 != 0) <= (x % 7 != 0)) or (x + a > 120)) == False:
            # если выражение ложно, фиксируем нарушение
            c = 1
            break # выход из цикла по x, так как A не подходит
    # если выражение истинно для всех x, выводим минимальное A и прекращаем поиск
    if c == 0:
        print(a)
        break

Получаем ответ:

Решение руками:

Раскроем выражение:

Отрицаем известную часть:

Получаем, что число х должно делится и на 4, и на 6. Это числа 12, 24, 36, 48 и так далее.

Значит, минимальное значение .

 

Решение программой:

Для нахождения наибольшего натурального числа , при котором выражение

тождественно истинно для всех натуральных , используем программный перебор. Идея заключается в том, чтобы проверить все значения от до с помощью цикла for. Для каждого перебираем все от до и проверяем истинность формулы. Если хотя бы для одного формула оказывается ложной, текущее отбрасываем. Если формула истинна для всех , обновляем максимальное найденное значение . В конце цикла максимальное значение будет наибольшим, для которого формула тождественно истинна.

# перебор всех натуральных A от 1 до 999
for a in range(1, 1000):
    c = 0 # флаг: 0 - выражение выполняется для всех x, 1 - хотя бы один случай нарушает
    # перебор всех x от 1 до 999
    for x in range(1, 1000):
        # проверка истинности формулы для текущего x
        if (((x % 4 == 0) <= (not(x % 6 == 0))) or (x % a == 0)) == False:
            # если выражение ложно, фиксируем нарушение
            c = 1
            break # выход из цикла по x, так как A не подходит
    # если выражение истинно для всех x, выводим текущий A
    if c == 0:
     print(a) # вывод наибольшего подходящего A

Получаем ответ: