Тема 15. Алгебра логики – преобразование логических выражений

15.02 Множества

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра логики – преобразование логических выражений

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#80619Максимум баллов за задание: 1

Элементами множеств А, P и Q являются натуральные числа, причём P = {2, 7, 14, 28, 34, 102} и Q = {7, 12, 24, 28, 56, 94}. Известно, что выражение

(x ∈ A)∨ (¬(x ∈ P ) → ¬ (x ∈ Q))

истинно (т. е. принимает значение 1) при любом значении переменной х. Определите наименьшее возможное значение суммы элементов множества A.

Показать ответ и решение

Упростим выражение:

(x ∈ A )∨ ((x ∈ P )∨ (x ⁄∈ Q))

Найдём при каких $x$ ложно выражение

(x ∈ P )∨ (x ⁄∈ Q)

То есть

(x ⁄∈ P )∧ (x ∈ Q)

Это такие числа как: 12, 24, 56 и 94. Они и будут являться элементами множества A. Их сумма 186.

Ответ: 186

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#80620Максимум баллов за задание: 1

Элементами множеств А, P и Q являются натуральные числа, причём P = {1, 3, 9, 13, 17, 29, 35, 51, 42} и Q = {2, 3, 13, 35, 36, 39, 42, 51, 67}. Известно, что выражение

¬((x ∈ Q )∧¬ (x ∈ P))∨ (x ∈ A )

истинно (т. е. принимает значение 1) при любом значении переменной х. Определите наименьшее возможное количество элементов множества A.

Показать ответ и решение

Упростим выражение:

(x ⁄∈ Q )∨(x ∈ P)∨ (x ∈ A)

Найдём при каких $x$ ложно выражение

(x ⁄∈ Q )∨ (x ∈ P)

То есть

(x ∈ Q )∧ (x ⁄∈ P)

Это числа: 2, 36, 39, 67. Они и будут являться элементами множества A. Значит, ответ – 4.

Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#80621Максимум баллов за задание: 1

Элементами множеств А, P и Q являются натуральные числа, причём P = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20} и Q = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30}. Известно, что выражение

¬ (¬ (x ∈ A)∧ (x ∈ Q )) ∨¬(x ∈ P)

Показать ответ и решение

Упростим выражение:

(x ∈ A) ∨(x ⁄∈ Q )∨ (x ⁄∈ P)

Найдём при каких $x$ ложно выражение

(x ⁄∈ Q )∨ (x ⁄∈ P)

То есть

(x ∈ Q )∧ (x ∈ P)

Это числа: 6, 12, 18. Они и будут являться элементами множества A. Значит, ответ – 3.

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#80622Максимум баллов за задание: 1

Элементами множеств А, P и Q являются натуральные числа, причём P = {2, 4, 6, 7, 11, 13, 14, 15, 16, 19, 21, 24, 27, 28, 29} и Q = {2, 3, 6, 9, 12, 13, 16, 17, 19, 21, 22, 23, 24, 25, 29}. Известно, что выражение

((x ∈ Q) → ¬(x ∈ P)) → ¬ (x ∈ A)

истинно (т. е. принимает значение 1) при любом значении переменной х. Определите наибольшее возможное количество элементов множества A.

Показать ответ и решение

Упростим выражение:

((x ⁄∈ Q)∨ (x ⁄∈ P )) → (x ⁄∈ A )

(x ∈ Q )∧(x ∈ P)∨ (x ⁄∈ A)

Найдём при каких $x$ ложно выражение

(x ∈ Q )∧ (x ∈ P)

То есть

(x ⁄∈ Q )∨ (x ⁄∈ P)

Это все числа, которые не входят ни в P ни в Q. Тогда, множество A будет состоять из чисел, которые есть в обоих множествах. Это числа: 2, 6, 13, 16, 19, 21, 24, 29. Значит, ответ – 8.

Ответ: 8

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#80623Максимум баллов за задание: 1

Элементами множеств А, P и Q являются натуральные числа, причём P = {1, 3, 4, 5, 8, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 18, 19, 20, 22, 23, 24, 25, 26, 28} и Q = {1, 3, 4, 7, 8, 9, 11, 13, 14, 15, 17, 19, 21, 22, 24, 25, 27, 28, 29, 30}. Известно, что выражение

(x ∈ P) → ((¬ (x ∈ Q) ∧(x ∈ P )) → (x ∈ A))

Показать ответ и решение

Упростим выражение:

(x ⁄∈ P )∨(¬(¬(x ∈ Q)∧ (x ∈ P ))∨ (x ∈ A ))

Избавимся от лишних скобок:

(x ⁄∈ P)∨ (x ∈ Q )∨ (x ⁄∈ P)∨ (x ∈ A )

Избавимся от повторяющейся $(x ⁄∈ P )$ :

(x ⁄∈ P )∨(x ∈ Q)∨ (x ∈ A)

Найдём при каких $x$ известная часть ложна

(x ⁄∈ P )∨ (x ∈ Q)

То есть

(x ⁄∈ Q )∧ (x ∈ P)

должна равняться 1. Она будет равняться истине если x не принадлежит Q и при этом принадлежит P.

Это числа: 5, 10, 12, 18, 20, 23, 26. Они и будут являться элементами множества A. Их сумма равна 114.

Ответ: 114

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 26#80624Максимум баллов за задание: 1

Элементами множеств А, P и Q являются натуральные числа, причём P = {6, 8, 20, 25, 27, 30} и Q = {2, 16, 19, 25, 30, 40}. Известно, что выражение

¬(¬(x ∈ A )∧ (x ∈ Q))∨ (¬(x ∈ P) → (x ∈ A ))

Показать ответ и решение

Упростим выражение:

(x ∈ A)∨ (x ⁄∈ Q )∨ (x ∈ P)∨ (x ∈ A )

(x ∈ A) ∨(x ⁄∈ Q )∨ (x ∈ P)

Найдём при каких $x$ ложно выражение

(x ∈ P )∨ (x ⁄∈ Q)

То есть

(x ⁄∈ P )∧ (x ∈ Q)

Это числа: 2, 16, 19, 40. Они и будут являться элементами множества A. Их сумма равна 77.

Ответ: 77

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 27#80625Максимум баллов за задание: 1

Элементами множеств А, P и Q являются натуральные числа, причём P = {1, 4, 8, 9, 10, 25, 35, 38} и Q = {2, 5, 6, 9, 10, 25, 37, 39}. Известно, что выражение

((x ∈ P ) → (x ∈ A ))∨(¬(x ∈ A) → (x ∈ Q))∨ ¬(¬(x ∈ P ) → ¬(x ∈ Q ))

Показать ответ и решение

Упростим выражение:

(x ⁄∈ P )∨ (x ∈ A)∨ (x ∈ A )∨ (x ∈ Q)∨ (x ⁄∈ P )∧ (x ∈ Q)

(x ⁄∈ P )∨(x ∈ A)∨ (x ∈ Q)

Найдём при каких $x$ ложно выражение

(x ⁄∈ P )∨ (x ∈ Q)

То есть

(x ∈ P )∧ (x ⁄∈ Q)

Это числа: 1, 4, 8, 35, 38. Они и будут являться элементами множества A. Их сумма равна 86.

Ответ: 86

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 28#80626Максимум баллов за задание: 1

Элементами множеств А, P и Q являются натуральные числа, причём P = {5, 7, 15, 18, 19, 31, 36, 40} и Q = {1, 10, 15, 18, 23, 27, 31, 32}. Известно, что выражение

((x ∈ Q ) ≡ (x ∈ P )) → (x ∈ A )

истинно (т. е. принимает значение 1) при любом значении переменной х. Определите наименьшее возможное множество A. В ответе запишите количество чисел, которые включены во все три множетсва $A$ , $P$ и $Q$ .

Показать ответ и решение

Упростим выражение:

¬ ((x ∈ Q ) ≡ (x ∈ P ))∨(x ∈ A)

Сделаем отрицание известной части, чтобы найти значения $x$ , которые не выполняются для неё. Тогда они должны будут выполняться для условия с А: $(x ∈ A)$ .

Отрицание известной части:

(x ∈ Q ) ≡ (x ∈ P)

Это отрицание выполняется для чисел 15, 18 и 31, а также для всех чисел которые не входят ни в множетсво $Q$ , ни в множество $P$ одновременно. Они и будут являться элементами множества A.

Тогда получается, что во всех 3х множествах находятся числа 15, 18 и 31. Их количество равно 3.

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 29#80627Максимум баллов за задание: 1

Элементами множеств А, P и Q являются натуральные числа, причём P = {6, 7, 9, 13, 15, 18, 21, 24, 26, 27, 33, 34, 36, 37} и Q = {3, 4, 7, 13, 14, 20, 26, 27, 28, 29, 30, 32, 35, 37}. Известно, что выражение

((x ∈ P) → (x ∈ A))∨ (x ∈ Q )

Показать ответ и решение

Первым шагом упростим выражение, раскрыв имликацию:

(x ⁄∈ P )∨(x ∈ A)∨ (x ∈ Q)

Инвертируем известную часть, чтобы определить при каких $x$ исходное выражение ложно:

(x ∈ P )∧ (x ∕∈ Q)

Это выражение истино (а исходное, соответственно, ложно) при $x$ , которые одновременно принадлежат множеству $P$ и не принадлежат множеству $Q$ . Такими значениями являются числа 6, 9, 15, 18, 21, 24, 33, 34, 36.

Чтобы исходное выражение было истинно при любом $x$ , необходимо все найденные числа поместить в множество $A$ , тогда наименьшее возможное множество $A = {6,9,15,18,21,24,33,34,36}$ , количество элементов в нем равно 9.

Ответ: 9

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 30#80628Максимум баллов за задание: 1

Элементами множеств А, P, R и Q являются натуральные числа, причём P = {1, 3, 7, 9, 11, 14, 18, 24, 26, 28, 30, 32, 36, 39, 40}, R = {1, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 14, 16, 17, 18, 24, 32, 34, 38} и Q = {8, 11, 12, 13, 14, 16, 17, 25, 26, 29, 31, 33, 34, 35, 36}. Известно, что выражение

((x ∈ P ) → (x ∈ Q))∨ ((x ∈ R) → (x ∈ A))

Показать ответ и решение

Первым шагом упростим выражение, раскрыв имликацию:

(x ∕∈ P)∨ (x ∈ Q )∨ (x ∕∈ R)∨ (x ∈ A )

Инвертируем известную часть, чтобы определить при каких $x$ исходное выражение ложно:

(x ∈ P )∧(x ∕∈ Q)∧ (x ∈ R )

Это выражение истино (а исходное, соответственно, ложно) при $x$ , которые одновременно принадлежат множеству $P$ , не принадлежат множеству $Q$ и принадлежат множеству $R$ . Такими значениями являются числа 1, 7, 18, 24, 32.

Чтобы исходное выражение было истинно при любом $x$ , необходимо все найденные числа поместить в множество $A$ , тогда наименьшее возможное множество $A = {1,7,18,24,32}$ , количество элементов в нем равно 5.

Ответ: 5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 31#87940Максимум баллов за задание: 1

Элементами множеств А, P и Q являются натуральные числа, причём P = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24} и Q = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36}. Известно, что выражение

((x ∈ Q) → (x ∈ A))∧ (¬(x ∈ A ) → (x ⁄∈ P ))

истинно (т. е. принимает значение 1) при любом значении переменной х. Определите минимальную возможную сумму элементов множества A.

Показать ответ и решение

Перепишем выражение в виде:

((x ⁄∈ Q )∨(x ∈ A))∧ ((x ∈ A)∨ (x ⁄∈ P))

(x ∈ A )∨ ((x ⁄∈ Q )∧ (x ⁄∈ P))

Отрицаем известную часть:

(x ∈ Q )∨ (x ∈ P)

Получаем, что $x = {2,3,4,6,8,9,10,12,14,15,16,18,20,21,22,24,27,30,33,36}$ могут принадлежать А. Значит, сумма элементов равна: $330$ .

Ответ: 330

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 32#87947Максимум баллов за задание: 1

Элементами множеств А, P и Q являются натуральные числа, причём P = {2, 5, 8, 10, 14, 15, 20, 25, 26, 30, 32} и Q = {5, 15, 25, 35, 40}. Известно, что выражение

¬(x ∈ A ) → ((x ∈ P ) → ¬(x ∈ Q ))

истинно (т. е. принимает значение 1) при любом значении переменной х. Определите наименьшую возможную длину элементов множества A.

Показать ответ и решение

Раскроем скобки:

(x ∈ A) ∨(x ∕∈ P )∨ (x ∕∈ Q)

Отрицаем известную часть:

(x ∈ P )∧ (x ∈ Q)

Получаем, что множество A = {5, 15, 25}. Наименьшая возможная длина равна 3.

Ответ: 3