15.03 Неравенства

Аналитическое решение:

Упростим выражение и раскроем импликации:

Обе части выражения должны давать истину, поэтому инвентируем известные части обеих частей выражения и рассмотрим их отдельно:

Сначала рассмотрим левую часть:

Чтобы точно было больше, чем , надо взять наибольшее возможное значение для , чтобы при меньших выражение точно было истинным.

При , , значит ... и так далее до бесконечности.

Теперь рассмотрим правую часть:

Чтобы точно было меньше, чем , надо взять наименьшее значение для , чтобы при больших выражение точно было истинным.

При , , - максимальное возможное для правой части

Наибольшее общее значение для обеих частей выражения – это .

Идея решения:

Для нахождения наибольшего целого , при котором выражение

тождественно истинно для всех неотрицательных целых и , используем программный перебор. Идея заключается в том, чтобы проверить все значения от до с помощью цикла for. Для каждого перебираем все значения и от до через вложенные циклы for. Для каждой тройки проверяем логические импликации. Если хотя бы для одной пары выражение оказалось ложным, текущее отбрасываем. Если выражение истинно для всех , текущее обновляем как потенциально наибольшее. В конце цикла наибольшее подходящее и будет ответом.

Решение программой:

# функция проверяет выполнение выражения для конкретного x, y и A
def f(a):
    for x in range(1, 1000):
        for y in range(1, 1000):
            # проверяем, выполняется ли логическая импликация
            if (((x <= 9) <= (x * x <= a)) and
                ((y * y <= a) <= (y <= 10))) == False:
                # если условие не выполняется, возвращаем False
                return False
    # если условие выполняется для всех x и y, возвращаем True
    return True

# перебор возможных значений A от 0 до 999
for a in range(1000):
    # если выражение тождественно истинно для текущего A
    if f(a):
        # выводим найденное наибольшее A
        print(a)