Тема 15. Алгебра логики – преобразование логических выражений

15.03 Неравенства

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра логики – преобразование логических выражений

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#5784Максимум баллов за задание: 1

Для какого наибольшего целого неотрицательного числа $A$ выражение

(69 ⁄= y + 2x ) ∨ (A < x) ∨ (A < y)

тождественно истинно (т.е. принимает значение 1 при любом неотрицательном целом значении переменной $x$ и $y)?$

Показать ответ и решение

Решение руками:

Инвертируем известную часть:

69 = y + 2x

Пусть $y = 1,x = 34$ . Чтобы выполнялось условие $A < y$ , нужно взять $A = 0$ , в таком случае условие будет выполняться и для $Y$ , и для $X$ .

Если мы возьмём пару $y = 3,x = 33$ , то теперь наибольшее значение $A$ уже будет равно 2.

Соответственно, чем больше мы будем брать $Y$ , тем большее значение $A$ можно взять.

Но, когда значение $Y$ станет больше, чем $X$ , то тогда уже придётся ориентироваться в первую очередь на условие для $X$ .

Следовательно, чтобы найти наибольшее А, нам нужна такая пара $Y,X$ , при которой будет выполняться $Y = X$ .

Это будет пара $Y = 23,X = 23$ , и при таких значениях переменных наибольшее $A$ будет равно 22.

Идея решения:

Идея заключается в переборе возможных значений $A$ (от $0$ до $1000$ ) и проверке, что для всех комбинаций $x$ и $y$ (от $1$ до $1000$ ) выражение

(69 ⁄= y + 2x ) ∨ (A < x) ∨ (A < y)

выполняется. Если найдётся хотя бы одна пара $(x, y)$ , для которой условие не выполняется (т.е. логическое выражение окажется ложным), это $A$ отбрасывается. Наибольшее $A$ , при котором условие выполняется для всех $x$ и $y$ , и будет ответом.

Для реализации этой идеи создадим цикл for для перебора параметра $A$ . Внутри него, также с помощью циклов for, организуем перебор значений $x$ и $y$ . Для каждого $A$ будем создавать переменную-флаг, которая изначально равна $0$ . Если условие в цикле if выполняется хотя бы раз, это значит, что исходное выражение оказалось ложным для некоторой пары $(x,y)$ , и $A$ не подходит. Если флаг остался равен $0$ , значит, условие в if не выполнилось ни разу и $A$ подходит. Так как мы ищем наибольшее $A$ , нужно запомнить последнее подходящее значение.

Решение программой:

for a in range(0, 1000): # перебираем возможные A
    c = 0  # флаг: 0 - условие в цикле ни разу не выполнилось,
           # 1 - условие в цикле хоть раз выполнилось
    for x in range(1, 1000): # Перебор x
        for y in range(1, 1000): # Перебор y
            # проверяем выполнение условия, если выполняется — меняем флаг
            if ((y + 2*x != 69) or (a < x) or (a < y)) == False:
                c = 1 # условие выполнилось (нашли "плохую" пару)
                break # выходим из цикла y
        if c == 1: # условие уже выполнилось
            break  # выходим из цикла x
    if c == 0: # условие не выполнилось ни разу, текущее A подходит
        print(a)  # выводим текущее A

Ответ: 22

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#6482Максимум баллов за задание: 1

Каково наибольшее целое $X,$ при котором истинно высказывание:
$(50 < X ⋅ X ) → (50 > (X + 1) ⋅ (X + 1))?$

Показать ответ и решение

Решение руками

Заметим, что логическое следование ложно только в случае $1 → 0$ . Значит, нужно понять, при каких x впервые наступит такое условие (и взять x меньше, но максимальный).

Такое условие получается при x = 8: $(50 < 64) → (50 > 81)$ .

Возьмем x = 7: $(50 < 49) → (50 > 64)$ . Получили следование из 0 в 0, что дает истину. Значит, наибольший x = 7.

Идея решения:

Идея заключается в переборе целых значений $X$ и проверке, для какого наибольшего $X$ выполняется импликация

2 2 (50 < X ) → (50 > (X + 1 )).

Импликация $A → B$ ложна только когда $A$ истинно, а $B$ ложно. Для всех остальных случаев она истинна. Следовательно, для каждого $X$ проверяем, что либо $X2 ≤ 50$ , либо $(X + 1)2 < 50$ . Нужно найти наибольшее целое $X$ , для которого условие истинно.

Для реализации создаём цикл по $x$ от $0$ до $1000$ . Для каждого $x$ проверяем выполнение импликации и выводим $x$ , если условие истинно. Поскольку перебор идёт по возрастанию, наибольшее $X$ будет последним выведенным значением.

Решение программой:

for x in range(1000):  # перебираем X от 0 до 999
    if (50 < x * x) <= (50 > (x + 1) * (x + 1)):  # проверяем условие, если оно выполняется, выводим X
        print(x)  # выводим X, для которого условие истинно

Ответ: 7

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#6484Максимум баллов за задание: 1

Для какого наибольшего целого неотрицательного числа $A$ выражение
$(99 ⁄= y + 2x) ∨ (A < x) ∨ (A < y)$
тождественно истинно (т.е. принимает значение 1 при любом неотрицательном целом значении переменных $x$ и $y)?$

Показать ответ и решение

Решение руками:

Инвертируем известную часть:

99 = y + 2x

Пусть $y = 1,x = 49$ . Чтобы выполнялось условие $A < y$ , нужно взять $A = 0$ , в таком случае условие будет выполняться и для $Y$ , и для $X$ .

Если мы возьмём пару $y = 3,x = 48$ , то теперь наибольшее значение $A$ уже будет равно 2.

Соответственно, чем больше мы будем брать $Y$ , тем большее значение $A$ можно взять.

Следовательно, чтобы найти наибольшее А, нам нужна такая пара $Y,X$ , при которой будет выполняться $Y = X$ .

Это будет пара $Y = 33,X = 33$ , и при таких значениях переменных наибольшее $A$ будет равно 32.

Идея решения:

Идея заключается в переборе возможных значений $A$ (от $0$ до $999$ ) и проверке, что для всех комбинаций $x$ и $y$ (от $0$ до $999$ ) выполняется выражение

(99 ⁄= y + 2x) ∨ (A < x ) ∨ (A < y ).

Если найдётся хотя бы одна пара $(x, y)$ , для которой выражение ложно, текущее $A$ отбрасывается. Наибольшее $A$ , для которого условие выполняется для всех $x$ и $y$ , и будет ответом.

Для реализации создаётся функция f(a), которая возвращает True, если для данного $a$ выражение выполняется для всех $x$ и $y$ , и False иначе. Затем с помощью цикла перебираем $a$ от $0$ до $999$ и выводим все подходящие значения $A$ . Наибольшее подходящее $A$ будет последним выведенным.

Решение программой:

def f(a):  # функция проверяет, выполняется ли выражение для всех x и y при данном a
    for x in range(1000):  # перебор x от 0 до 999
        for y in range(1000):  # перебор y от 0 до 999
         # проверяем выражение: False если условие не выполнено
            if not((99 != y + 2 * x) or (a < x) or (a < y)):
             # если нашли "плохую" пару, возвращаем False
                return False
    return True  # условие выполнено для всех пар, возвращаем True

for a in range(1000):  # перебираем возможные значения A
    if f(a):  # проверяем, подходит ли текущее A
        print(a)  # выводим A, для которого условие истинно

Ответ: 32

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#16307Максимум баллов за задание: 1

Для какого наименьшего целого неотрицательного числа $A$ выражение

(69 < y +2x) ∨(A > x)∨ (A > y)

тождественно истинно (т.е. принимает значение 1 при любых неотрицательных целых значениях переменных $x$ и $y$ )?

Показать ответ и решение

Решение руками

Инвертируем известную часть:

69 ≥ y+ 2x

Пусть $y = 1,x = 34$ . Чтобы выполнялось условие $A > y$ , нужно взять $A = 2$ , в таком случае условие будет выполняться и для $Y$ , правда не будет выполняться для $X$ .

Если мы возьмём пару $y = 3,x = 33$ , то теперь наименьшее значение $A$ уже будет равно 4.

Соответственно, чем больше мы будем брать $Y$ , тем больше будет наименьшее значение для $A$ .

Но, когда значение $Y$ станет больше, чем $X$ , то тогда уже придётся ориентироваться в первую очередь на условие для $X$ , т.к. $X$ будет меньше чем $Y$ , и нам хватит меньшего значения для $A$ , чтобы всё выражение было истиной.

Следовательно, чтобы найти наименьшее А, нам нужна такая пара $Y,X$ , при которой будет выполняться $Y = X$ .

Это будет пара $Y = 23,X = 23$ , и при таких значениях переменных наименьшее $A$ будет равно 24.

Идея решения:

Идея заключается в переборе возможных значений $A$ (от $0$ до $999$ ) и проверке, что для всех комбинаций $x$ и $y$ (от $1$ до $999$ ) выполняется выражение

(69 < y+ 2x)∨ (A > x)∨ (A > y).

Если найдётся хотя бы одна пара $(x,y)$ , для которой выражение ложно, текущее $A$ отбрасывается. Нам нужно найти наименьшее значение $A$ , при котором условие выполняется для всех $x$ и $y$ .

Для реализации создаётся функция f(a), которая возвращает True, если выражение выполняется для всех $x$ и $y$ , и False иначе. Затем перебираем $A$ от $0$ до $999$ и выводим первое подходящее значение.

Решение программой:

# функция проверяет, выполняется ли выражение для всех x и y при данном a
def f(a):
    # перебор x от 1 до 999
    for x in range(1, 1000):
        # перебор y от 1 до 999
        for y in range(1, 1000):
            # проверяем выражение: False если условие не выполнено
            if ((69 < y + 2 * x) or (a > x) or (a > y)) == False:
                # если нашли "плохую" пару, возвращаем False
                return False
    # условие выполнено для всех пар, возвращаем True
    return True

# перебираем возможные значения A от 0 до 999
for a in range(1000):
    # проверяем, подходит ли текущее A
    if f(a):
        # выводим наименьшее A, для которого условие истинно
        print(a)
        break

Ответ: 24

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#16308Максимум баллов за задание: 1

Для какого наибольшего целого неотрицательного числа $A$ выражение

(x + 3y > A )∨ (x < 18)∨ (y < 33)

тождественно истинно при любых целых неотрицательных $x$ и $y?$

Показать ответ и решение

Решение 1 (руками)

Инвертируем известную часть:

(x ≥ 18) ∧(y ≥ 33)

Это выражение истино (а исходное соответственно ложно) при $x ≥ 18$ и $y ≥ 33$ одновременно. Неизвестная часть $x + 3y > A$ говорит, что сумма x и 3y должна быть больше чем A, тогда возьмем максимальные x и y из известной части, так как они же будут являться минимальными значениями при которых неизвестная часть должна давать истину. Подставим $x = 18$ и $y = 33$ , получим $18 + 99 = 117 > A$ , отсюда $A = 116$ .

Идея решения:

Идея заключается в переборе возможных значений $A$ (от $1$ до $1000$ ) и проверке, что для всех комбинаций $x$ и $y$ (от $1$ до $999$ ) выполняется выражение

(x + 3y > A) ∨(x < 18)∨(y < 33).

Выражение ложное только если $x+ 3y ≤ A$ , $x ≥ 18$ и $y ≥ 33$ одновременно. Нам нужно найти наибольшее $A$ , при котором условие выполняется для всех $x$ и $y$ .

Для реализации создаём функцию f(a), которая возвращает True, если выражение выполняется для всех $x$ и $y$ , и False иначе. Затем перебираем $A$ от $1000$ до $1$ в порядке убывания и выводим первое подходящее значение. Так как перебор идёт сверху вниз, найденное значение будет наибольшим.

Решение программой:

# функция проверяет, выполняется ли выражение для всех x и y при данном a
def f(a):
    # перебор x от 1 до 999
    for x in range(1, 1000):
        # перебор y от 1 до 999
        for y in range(1, 1000):
            # проверяем выражение: False если условие не выполнено
            if not ((x + 3 * y > a) or (x < 18) or (y < 33)):
                # если нашли "плохую" пару, возвращаем False
                return False
    # условие выполнено для всех пар, возвращаем True
    return True

# перебираем возможные значения A от 1000 до 1
for a in range(1000, 0, -1):
    # проверяем, подходит ли текущее A
    if f(a):
        # выводим наибольшее A, для которого условие истинно
        print(a)
        break

Ответ: 116

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#16309Максимум баллов за задание: 1

Для какого наибольшего целого неотрицательного числа $A$ выражение

-------- (3x+ 9y ≥ A)∨ (x > 20) ∨(y < 10)

тождественно истинно при любых целых неотрицательных $x$ и $y?$

Показать ответ и решение

Решение руками

Инвертируем известную часть:

(x > 20) ∨(y ≥ 10)

Это выражение истино (а исходное соответственно ложно) при $x > 20$ и $y ≥ 10$ одновременно. Неизвестная часть $3x + 9y ≥ A$ говорит, что сумма 3x и 9y должна быть больше или равна чем A, тогда возьмем максимальные x и y из известной части, так как они же будут являться минимальными значениями при которых неизвестная часть должна давать истину. Подставим $x = 21$ и $y = 10$ , получим $63 + 90 = 153 ≥ A$ , отсюда $A = 153$ .

Идея решения:

Идея заключается в переборе возможных значений $A$ (от $0$ до $1000$ ) и проверке, что для всех комбинаций $x$ и $y$ (от $1$ до $999$ ) выполняется выражение

-------- (3x+ 9y ≥ A)∨ (x > 20)∨ (y < 10),

где $-------- (x > 20)$ означает отрицание условия $x > 20$ . Выражение ложное только если $3x+ 9y < A$ , $x > 20$ , и $y ≥ 10$ одновременно. Нам нужно найти наибольшее $A$ , для которого выражение истинно для всех $x$ и $y$ .

Для реализации создаётся функция f(a), которая возвращает True, если выражение выполняется для всех $x$ и $y$ , и False иначе. Затем перебираем $A$ от $1000$ до $1$ в порядке убывания и выводим первое подходящее значение. Так как перебор идёт сверху вниз, найденное значение будет наибольшим.

Решение программой:

# функция проверяет, выполняется ли выражение для всех x и y при данном a
def f(a):
    # перебор x от 1 до 999
    for x in range(1, 1000):
        # перебор y от 1 до 999
        for y in range(1, 1000):
            # проверяем выражение: False если условие не выполнено
            if not ((3 * x + 9 * y >= a) or not (x > 20) or (y < 10)):
                # если нашли "плохую" пару, возвращаем False
                return False
    # условие выполнено для всех пар, возвращаем True
    return True

# перебираем возможные значения A от 1000 до 1
for a in range(1000, 0, -1):
    # проверяем, подходит ли текущее A
    if f(a):
        # выводим наибольшее A, для которого условие истинно
        print(a)
        break

Ответ: 153

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#16310Максимум баллов за задание: 1

Для какого наибольшего целого неотрицательного числа $A$ выражение

( 13 ) ------- x+ --y ≥ A ∨ (x ≥ y)∨ (y < 7) 9

тождественно истинно при любых целых неотрицательных $x$ и $y?$

Показать ответ и решение

Решение 1

Упростим, а затем инвертируем известную часть:

(x ≥ y) ∧(y ≥ 7)

Поскольку по условию $A$ должно быть меньше либо равно $(x + 13y) 9$ , нам надо взять наименьшие возможные значения для $X$ и $Y$ , чтобы при больших значениях условие для $A$ точно выполнялось. Следовательно, нужно брать $Y = 7,X = 7$ , то есть $91 7 + (- ) ≥ A 9$ , или же $17,(1)$ $≥ A$ , наибольшим значением для $A$ будет 17.

Идея решения:

Для нахождения наибольшего целого $A$ , при котором выражение

( ) 13 ------- x+ 9 y ≥ A ∨ (x ≥ y)∨ (y < 7)

тождественно истинно, используем программный перебор. Идея состоит в том, чтобы для каждого возможного $A$ проверять все пары $(x,y)$ в заданном диапазоне (от 1 до 999). Если найдётся хотя бы одна пара, при которой выражение ложно, текущее $A$ не подходит. Последнее $A$ , для которого условие выполнено для всех $(x,y)$ , и будет наибольшим.

Для реализации создаём функцию f(a), которая возвращает True, если выражение выполняется для всех пар $(x,y)$ , и False иначе. Далее перебираем $A$ в порядке возрастания и выводим подходящее значение, последнее выведенное А и будет ответом.

Решение программой:

# функция проверяет выполнение выражения для всех x и y при данном a
def f(a):
    # перебор x от 1 до 999
    for x in range(1, 1000):
        # перебор y от 1 до 999
        for y in range(1, 1000):
            # проверяем условие: False, если выражение ложно
            if ((x + 13/9 * y >= a) or not(x >= y) or (y < 7)) == False:
                # если найден "плохой" набор (выражение ложно), возвращаем False
                return False
    # если ни одна пара не нарушила условие, возвращаем True
    return True

# перебор A от 0 до 99
for a in range(100):
    # проверяем, подходит ли текущее A
    if f(a):
        # выводим наибольшее целое A, для которого выражение тождественно истинно
        print(a)

Ответ: 17

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#18039Максимум баллов за задание: 1

Для какого наименьшего целого неотрицательного числа $A$ выражение

(x < A )∨(x < 20)∨ (x > 30)

тождественно истинно, т.е. принимает значение $1$ при любых целых неотрицательных $x$ ?

Показать ответ и решение

Решение руками:

Инвертируем известную часть:

(x ≥ 20) ∧(x ≤ 30)

Нам нужно взять наибольшее возможное значение для $X$ , чтобы при меньших значениях условие $x < A$ точно выполнялось. Следовательно, при $X = 30$ , наименьшее $A = 30$ .

Идея решения:

Идея заключается в переборе возможных значений $A$ от $0$ до $999$ с помощью цикла for. Для каждого $A$ проверяем все возможные значения $x$ от $0$ до $999$ через вложенный цикл for. Для каждой пары $(A, x)$ вычисляем логическое выражение

(x < A)∨ (x < 20) ∨(x > 30).

Если хотя бы для одного $x$ выражение оказалось ложным, текущее $A$ отбрасываем и переходим к следующему значению. Если выражение истинно для всех $x$ , значит текущий $A$ подходит, и так как мы ищем наименьшее $A$ , выводим его и прерываем цикл.

Решение программой:

# перебор возможных значений A от 0 до 999
for a in range(1000):
    # флаг: 0 - условие не нарушено ни разу, 1 - условие нарушено хотя бы раз
    fl = 0
    # перебор x от 0 до 999
    for x in range(1000):
        # вычисляем выражение для текущего x
        f = (x < a) or (x < 20) or (x > 30)
        # если выражение ложно
        if f == 0:
            # отмечаем нарушение
            fl = 1
            # выходим из цикла по x
            break
    # если условие не нарушено ни разу, текущее A подходит
    if not fl:
        # выводим наименьшее A
        print(a)
        # прерываем цикл, так как найден наименьший A
        break

Ответ: 31

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#18040Максимум баллов за задание: 1

Для какого наименьшего целого неотрицательного числа $A$ выражение

(x2 − 3x+ 2 > 0)∨ (y > x2 + 7)∨ (xy < A )

тождественно истинно, т.е. принимает значение $1$ при любых целых неотрицательных $x,y$ ?

Показать ответ и решение

Решение руками:

Инвертируем известную часть:

(x2 − 3x+ 2 ≤ 0)∧(y ≤ x2 + 7)

Корни для первого неравенства - 1 и 2, а значит можно превратить его в $(x ≥ 1) ∧(x ≤ 2)$ .

В данном диапазоне единственные целые значения $x$ - это 1 и 2.

При $x = 1$ , $y ≤ 8$ .

При $x = 2$ , $y ≤ 11$ .

Чтобы условие для $A$ точно выполнялось, нужно взять значения $x,y$ как можно больше, чтобы при меньших значения переменных выражение точно было истиной. Следовательно, $x = 2,y = 11$ , и при данных значениях наименьшее $A = 23$ .

Идея решения:

Для нахождения наименьшего целого $A$ , при котором выражение

2 2 (x − 3x+ 2 > 0)∨ (y > x + 7)∨ (xy < A )

тождественно истинно, используем программный перебор. Идея заключается в том, чтобы проверить все пары $(x,y)$ в диапазоне от $0$ до $299$ для каждого значения $A$ от $0$ до $999$ . Если для какой-то пары выражение ложно, текущее $A$ не подходит. Первое $A$ , для которого выражение истинно для всех $(x,y)$ , будет наименьшим. Если для текущего $A$ при любой паре $(x,y)$ выражение оказалось True, то данное $A$ нам подходит.

Для реализации создаём функцию f(x, y, a), которая возвращает True, если выражение выполняется для конкретной пары $(x,y)$ , и False иначе. Затем во внешнем цикле перебираем $A$ и проверяем условие для всех $(x,y)$ .

Решение программой:

# функция проверяет выполнение выражения для конкретной пары x и y при данном a
def f(x, y, a):
    return (x ** 2 - 3 * x + 2 > 0) or (y > x ** 2 + 7) or (x * y < a)

# перебор возможных значений A от 0 до 999
for a in range(1000):
    fl = 0  # флаг: 0 - условие не нарушено, 1 - условие нарушено хотя бы раз
    # перебор x от 0 до 299
    for x in range(300):
        # перебор y от 0 до 299
        for y in range(300):
            # проверяем выражение для текущих x, y
            if not f(x, y, a):
                fl = 1  # условие хотя бы раз не выполнилось
                break  # выходим из цикла по y
        if fl:  # если условие нарушено
            break  # выходим из цикла по x
    # если условие не нарушено ни разу, текущее A подходит
    if not fl:
        print(a)  # выводим наименьшее A
        break  # завершение перебора, так как найден наименьший A

Ответ: 23

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#20048Максимум баллов за задание: 1

Для какого наименьшего целого неотрицательного числа $A$ выражение

(y + 2x < A )∨ (x > 30)∨ (y > 20)

тождественно истинно, то есть принимает значение $1$ при любых целых неотрицательных $x$ и $y$ ?

Показать ответ и решение

Решение 1. Руками

Инвертируем известную часть:

(x ≤ 30) ∧(y ≤ 20)

Чтобы условие $(y + 2x < A )$ выполнялось всегда, надо взять для $x$ и $y$ наибольшие возможные значения, чтобы при меньших значениях условие точно выполнялось.

То есть, $x = 30$ , а $y = 20$ , тогда наименьшее возможное $A = 81$ .

Идея решения:

Идея заключается в переборе возможных значений $A$ от $0$ до $999$ с помощью цикла for. Для каждого $A$ проверяем все возможные значения $x$ и $y$ от $0$ до $999$ через вложенные циклы for. Для каждой тройки $(A,x,y)$ вычисляем логическое выражение

(y +2x < A) ∨(x > 30)∨(y > 20).

Если хотя бы для одной пары $(x,y)$ выражение оказалось ложным, текущее $A$ отбрасываем и переходим к следующему значению. Если выражение истинно для всех $(x,y)$ , значит текущее $A$ подходит, и так как мы ищем наименьшее $A$ , выводим его и прерываем цикл.

Решение программой:

# функция проверяет выполнение выражения для конкретного A
def f(a):
    # перебор x от 0 до 999
    for x in range(1000):
        # перебор y от 0 до 999
        for y in range(1000):
            # проверяем выражение для текущих x и y
            if not((y + 2 * x < a) or (x > 30) or (y > 20)):
                # если выражение ложно, возвращаем False
                return False
    # если ни одна пара не нарушила условие, возвращаем True
    return True

# перебор возможных значений A от 0 до 999
for a in range(1000):
    # проверяем, подходит ли текущее A
    if f(a):
        # выводим наименьшее A
        print(a)
        # прерываем цикл, так как найден наименьший A
        break

Ответ: 81

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#21466Максимум баллов за задание: 1

Сколько существует целых неотрицательных чисел $A$ , при которых выражение

((y ⋅y < A ) → (y ≤ 8))∧ ((x ≤ 5) → (x⋅x ≤ A))

тождественно истинно (т.е. принимает значение $1$ при любых неотрицательных целых значениях переменных $x$ и $y$ )?

Показать ответ и решение

Решение руками:

Упростим выражение:

((y2 ≥ A) ∨(y ≤ 8))∧ ((x > 5)∨ (x2 ≥ A ))

Инвертируем известную часть для левой и правой части:

(y > 8)

(x ≤ 5)

Нам нужно, чтобы выполнялась и левая часть выражения, и правая.

Разберём сначала левую часть:

Чтобы $((y2 ≥ A )$ выполнялось, нужно взять наименьшее возможное значение для $y$ , чтобы при больших $y$ выражение точно было истиной.

То есть, при $y = 9$ для левой части $A = 81,80,79$ ... и так до $A = 0$ .

Теперь разберём правую часть:

Чтобы $(x2 ≥ A))$ выполнялось, нужно взять наибольшее возможное значение для $x$ , чтобы при меньших $x$ выражение точно было истиной.

То есть, при $x = 5$ для правой части $A = 25,26,27$ ... и так до бесконечности.

Общие значения для обоих частей лежат в отрезке $[25;81]$ . Cледовательно, подходящих значений $A$ будет $81 − 25 + 1 = 57$ .

Идея решения:

Для нахождения количества целых неотрицательных $A$ , при которых выражение

((y ⋅y < A ) → (y ≤ 8))∧ ((x ≤ 5) → (x⋅x ≤ A))

тождественно истинно, используем программный перебор. Идея заключается в том, чтобы проверить все значения $A$ от $0$ до $299$ с помощью цикла for. Для каждого $A$ проверяем все значения $x$ и $y$ от $0$ до $299$ через вложенные циклы for. Для каждой тройки $(A, x,y)$ вычисляем логическое выражение. Если хотя бы для одной пары $(x,y)$ выражение оказалось ложным, текущее $A$ отбрасываем. Если выражение истинно для всех $(x,y)$ , увеличиваем счётчик подходящих $A$ . После перебора всех $A$ счётчик покажет количество целых неотрицательных $A$ , для которых выражение тождественно истинно.

Решение программой:

# функция проверяет выполнение выражения для конкретного x, y и A
def f(x, y, a):
    return ((y * y < a) <= (y <= 8)) and ((x <= 5) <= (x * x <= a))

# счётчик подходящих A
counter = 0

# перебор возможных значений A от 0 до 299
for a in range(300):
    # флаг: 0 - условие не нарушено ни разу,
    1 - условие нарушено хотя бы раз
    fl = 0
    # перебор x от 0 до 299
    for x in range(300):
        # перебор y от 0 до 299
        for y in range(300):
            # если выражение ложно
            if not f(x, y, a):
                fl = 1  # меняем значение флага
                break   # выходим из цикла y
        if fl:       # если флаг равен 1
            break   # выходим из цикла x
    # если условие не нарушено ни разу, увеличиваем счётчик
    if not fl:
        counter += 1

# выводим количество подходящих A
print(counter)

Ответ: 57

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#22206Максимум баллов за задание: 1

Для какого наибольшего целого неотрицательного числа $A$ выражение

$(x + 3y > A )∨(x < 18)∨(y < 33)$

тождественно истинно при любых целых неотрицательных $x$ и $y?$

Показать ответ и решение

Решение 1. Руками

Инвертируем известную часть:

(x ≥ 18) ∧(y ≥ 33)

Чтобы условие $(x + 3y > A )$ выполнялось всегда, надо взять для $x$ и $y$ наименьшие возможные значения, чтобы при больших значениях $A$ точно было меньше, чем $x + 3y$ .

То есть, $x = 18$ , а $y = 33$ , $117 > A$ , тогда наименьшее возможное $A = 116$ .

Идея решения:

Для нахождения наибольшего целого $A$ , при котором выражение

(x + 3y > A )∨ (x < 18)∨ (y < 33)

тождественно истинно для всех неотрицательных целых $x$ и $y$ , используем программный перебор. Идея заключается в том, чтобы проверить все значения $A$ от $1$ до $499$ с помощью цикла for. Для каждого $A$ перебираем все значения $x$ и $y$ от $1$ до $499$ через вложенные циклы for. Для каждой тройки $(A,x,y)$ вычисляем логическое выражение. Если хотя бы для одной пары $(x,y)$ выражение оказалось ложным, текущее $A$ отбрасываем. Если выражение истинно для всех $(x,y)$ , обновляем максимальное найденное значение $A$ . В конце цикла максимальное значение будет наибольшим подходящим $A$ .

Решение программой:

# функция проверяет выполнение выражения для конкретного x, y и A
def f(x, y, A):
    return (x + 3*y > A) or (x < 18) or (y < 33)

# переменная для хранения наибольшего подходящего A
ans = 0

# перебор возможных значений A от 1 до 499
for a in range(1, 500):
    # флаг: True - выражение выполняется для всех x и y, False - хотя бы один случай нарушает
    for x in range(1, 500):
        for y in range(1, 500):
            flag = True
            # если выражение ложно для текущих x и y
            if not f(x, y, a):
                flag = False
                break
        if not flag:
            break
    # если выражение выполняется для всех x и y, обновляем максимум
    if flag:
        ans = max(a, ans)

# выводим наибольшее подходящее A
print(ans)

Ответ: 116

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#22207Максимум баллов за задание: 1

Для какого наименьшего целого неотрицательного числа $A$ выражение

$(2x + 5y ≤ A) ∨(x ≥ y)∨ (y > 11)$

тождественно истинно при любых целых неотрицательных $x$ и $y?$

Показать ответ и решение

Решение 1. Руками

Инвертируем известную часть:

(x < y)∧ (y ≤ 11)

Т.к. нам нужно, чтобы $A$ было больше, чем $2x +5y$ , надо взять наибольшие возможные значения для $x$ и $y$ , тогда при меньших значениях для данных переменных, $A$ точно будет больше.

Следовательно, $y = 11$ , а $x = 10$ (т.к. $x < y$ должно выполняться).

$(2× 10+ 5 × 11 ≤ A )$ , или же $(75 ≤ A)$ , наименьшее значение $A − 75$ .

Идея решения:

Для нахождения наименьшего целого $A$ , при котором выражение

(2x + 5y ≤ A )∨ (x ≥ y)∨ (y > 11)

тождественно истинно для всех неотрицательных целых $x$ и $y$ , используем программный перебор. Идея заключается в том, чтобы проверить все значения $A$ от $0$ до $499$ с помощью цикла for. Для каждого $A$ перебираем все значения $x$ и $y$ от $0$ до $99$ через вложенные циклы for. Для каждой тройки $(A,x,y)$ вычисляем логическое выражение. Если хотя бы для одной пары $(x,y)$ выражение оказалось ложным, текущее $A$ отбрасываем и переходим к следующему значению. Если выражение истинно для всех $(x,y)$ , значит текущее $A$ подходит, и так как мы ищем наименьшее $A$ , выводим его и прерываем цикл.

Решение программой:

# функция проверяет выполнение выражения для конкретного x, y и A
def f(x, y, A):
    return (2 * x + 5 * y <= A) or (x >= y) or (y > 11)

# перебор возможных значений A от 0 до 499
for a in range(500):
    # флаг: True - выражение выполняется для всех x и y,
    False - хотя бы один случай не выполняется
    for x in range(100):
        for y in range(100):
            flag = True
            # если выражение ложно для текущих x и y
            if not f(x, y, a):
                flag = False # меняем значение флага
                break # сбрасываем цикл y
        if not flag:
            break # сбрасываем цикл x
    # если выражение выполняется для всех x и y, текущее A подходит
    if flag:
        # выводим наименьшее подходящее A
        print(a)
        break

Ответ: 75

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#22650Максимум баллов за задание: 1

Для какого наименьшего целого неотрицательного числа $A$ выражение

$(y+ 2x < A)∨ (30 < x)∨ (20 < y)$

тождественно истинно при любых целых неотрицательных $x$ и $y?$

Показать ответ и решение

Решение 1. Руками

Инвертируем известную часть:

(30 ≥ x) ∧(20 ≥ x)

То есть, $x = 30$ , а $y = 20$ , тогда наименьшее возможное $A = 81$ .

Идея решения:

Для нахождения наименьшего целого $A$ , при котором выражение

(y + 2x < A )∨ (30 < x)∨ (20 < y)

тождественно истинно для всех неотрицательных целых $x$ и $y$ , используем программный перебор. Идея заключается в том, чтобы проверить все значения $A$ от $0$ до $99$ с помощью цикла for. Для каждого $A$ перебираем все значения $x$ и $y$ от $0$ до $99$ через вложенные циклы for. Для каждой тройки $(A,x,y)$ вычисляем логическое выражение. Если хотя бы для одной пары $(x,y)$ выражение оказалось ложным, текущее $A$ отбрасываем. Если выражение истинно для всех $(x,y)$ , проверяем, является ли текущее $A$ минимальным, и обновляем его значение. В конце цикла минимальное значение $A$ будет наименьшим подходящим.

Решение программой:

# функция проверяет выполнение выражения для конкретного x, y и A
def f(x, y, A):
    return (y + 2*x < A) or (30 < x) or (20 < y)

# переменная для хранения наименьшего подходящего A
ans = 10000000

# перебор возможных значений A от 0 до 99
for a in range(100):
    # флаг:
    # True - выражение выполняется для всех x и y
    # False - хотя бы один случай не выполняет выражение
    # перебор x от 0 до 99
    for x in range(100):
        # перебор y от 0 до 99
        for y in range(100):
            # предполагаем, что выражение выполняется
            flag = True
            # если выражение не выполняется для текущих x и y
            if not f(x, y, a):
                # меняем флаг, так как условие не выполняется
                flag = False
                # выходим из цикла y, так как нашли "плохую" пару
                break
        # выходим из цикла x, так как условие уже не выполняется
        if not flag:
            break
    # если выражение выполняется для всех x и y, обновляем минимальный A
    if flag:
        ans = min(a, ans)

# выводим наименьшее подходящее A
print(ans)

Ответ: 81

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#22651Максимум баллов за задание: 1

Для какого наибольшего целого неотрицательного числа $A$ выражение

$((x ≤ 9) → (x⋅x ≤ A))∧ ((y ⋅y ≤ A ) → (y ≤ 10))$

тождественно истинно при любых целых неотрицательных $x$ и $y?$

Показать ответ и решение

Аналитическое решение:

Упростим выражение и раскроем импликации:

((x > 9)∨ (x2 ≤ A))∧ ((y2 > A)∨ (y ≤ 10))

Обе части выражения должны давать истину, поэтому инвентируем известные части обеих частей выражения и рассмотрим их отдельно:

(x ≤ 9)

(y > 10)

Сначала рассмотрим левую часть:

Чтобы $A$ точно было больше, чем $x2$ , надо взять наибольшее возможное значение для $x$ , чтобы при меньших $x$ выражение точно было истинным.

При $x = 9$ , $81 <= A$ , значит $A = 81,82,83$ ... и так далее до бесконечности.

Теперь рассмотрим правую часть:

Чтобы $A$ точно было меньше, чем $y2$ , надо взять наименьшее значение для $y$ , чтобы при больших $y$ выражение точно было истинным.

При $y = 11$ , $121 > A$ , $A = 120$ - максимальное возможное $A$ для правой части

Наибольшее общее значение для обеих частей выражения – это $A = 120$ .

Идея решения:

Для нахождения наибольшего целого $A$ , при котором выражение

((x ≤ 9) → (x⋅x ≤ A))∧ ((y ⋅y ≤ A ) → (y ≤ 10))

тождественно истинно для всех неотрицательных целых $x$ и $y$ , используем программный перебор. Идея заключается в том, чтобы проверить все значения $A$ от $0$ до $999$ с помощью цикла for. Для каждого $A$ перебираем все значения $x$ и $y$ от $1$ до $999$ через вложенные циклы for. Для каждой тройки $(A,x,y)$ проверяем логические импликации. Если хотя бы для одной пары $(x,y)$ выражение оказалось ложным, текущее $A$ отбрасываем. Если выражение истинно для всех $(x,y)$ , текущее $A$ обновляем как потенциально наибольшее. В конце цикла наибольшее подходящее $A$ и будет ответом.

Решение программой:

# функция проверяет выполнение выражения для конкретного x, y и A
def f(a):
    for x in range(1, 1000):
        for y in range(1, 1000):
            # проверяем, выполняется ли логическая импликация
            if (((x <= 9) <= (x * x <= a)) and
                ((y * y <= a) <= (y <= 10))) == False:
                # если условие не выполняется, возвращаем False
                return False
    # если условие выполняется для всех x и y, возвращаем True
    return True

# перебор возможных значений A от 0 до 999
for a in range(1000):
    # если выражение тождественно истинно для текущего A
    if f(a):
        # выводим найденное наибольшее A
        print(a)

Ответ: 120

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#22652Максимум баллов за задание: 1

Сколько существует целых неотрицательных чисел $A$ , при которых выражение

$((y⋅y < A) → (y ≤ 8))∧((x ≤ 5) → (x⋅x ≤ A ))$

тождественно истинно (т.е. принимает значение 1 при любых неотрицательных целых значениях переменных $x$ и $y$ )?

Показать ответ и решение

Решение руками:

Упростим выражение:

((y2 ≥ A) ∨(y ≤ 8))∧ ((x > 5)∨ (x2 ≥ A ))

Инвертируем известную часть для левой и правой части:

(y > 8)

(x ≤ 5)

Нам нужно, чтобы выполнялась и левая часть выражения, и правая.

Разберём сначала левую часть:

То есть, при $y = 9$ для левой части $A = 81,80,79$ ... и так до $A = 0$ .

Теперь разберём правую часть:

То есть, при $x = 5$ для правой части $A = 25,26,27$ ... и так до бесконечности.

Идея решения:

Для подсчёта количества целых неотрицательных чисел $A$ , при которых выражение

((y ⋅y < A ) → (y ≤ 8))∧ ((x ≤ 5) → (x⋅x ≤ A))

тождественно истинно для всех неотрицательных целых $x$ и $y$ , используем программный перебор. Идея заключается в том, чтобы проверить все значения $A$ от $0$ до $999$ с помощью цикла for. Для каждого $A$ перебираем все значения $x$ и $y$ от $1$ до $999$ через вложенные циклы for. Для каждой тройки $(A,x,y)$ проверяем логические импликации. Если хотя бы для одной пары $(x,y)$ выражение оказалось ложным, текущее $A$ отбрасываем. Если выражение истинно для всех $(x,y)$ , увеличиваем счётчик. В конце цикла счётчик содержит количество подходящих $A$ .

Решение программой:

# инициализация счётчика подходящих значений A
count = 0

# перебор возможных значений A от 0 до 999
for a in range(0, 1000):
    # флаг: 0 - выражение не проверялось на ложное значение
    # 1 - хотя бы один случай не выполняет выражение
    c = 0
    # перебор x от 1 до 999
    for x in range(1, 1000):
        # перебор y от 1 до 999
        for y in range(1, 1000):
            # проверяем выполнение логического выражения
            if (((y*y < a) <= (y <= 8)) and ((x <= 5) <= (x*x <= a))) == False:
                # если условие не выполняется, меняем флаг
                c = 1
                # выходим из цикла y, так как нашли "плохую" пару
                break
        # выходим из цикла x, так как условие уже не выполняется
        if c == 1:
            break
    # если выражение выполняется для всех x и y, увеличиваем счётчик
    if c == 0:
        count += 1

# выводим количество подходящих A
print(count)

Ответ: 57

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#23187Максимум баллов за задание: 1

Для какого наименьшего целого числа $A$ формула

(x > 23)∨ (A > x) ∨(A > y)∨ (y > 47)

тождественно истинна при любых положительных $x$ и $y$ ?

Показать ответ и решение

Решение 1. Руками

Инвертируем известную часть:

(x ≤ 23) ∧(y ≤ 47)

Нужно, чтобы выполнялось одно из двух условий для $A$ : $> x$ и $> y$

Чтобы выполнялось $A > x$ , нужно взять наибольшее возможное значение для $x$ , чтобы при меньших $x$ значение $A$ точно было больше.

$A > 23$ , значит нам подходят следующие значения для $A$ : $24,25,26$ ... и так далее до бесконечности.

Чтобы выполнялось $A > y$ , нужно взять наибольшее возможное значение для $y$ , чтобы при меньших $y$ значение $A$ точно было больше.

$A > 47$ , значит нам подходят следующие значения для $A$ : $48,49,50$ ... и так далее до бесконечности.

Наименьшее А, которое удовлетворяет одному из условий – это $A = 24$ .

Идея решения:

Для нахождения наименьшего целого $A$ , при котором выражение

(x > 23)∨ (A > x) ∨(A > y)∨ (y > 47)

тождественно истинно для всех положительных целых $x$ и $y$ , используем программный перебор. Идея заключается в том, чтобы проверить все значения $A$ от $0$ до $999$ с помощью цикла for. Для каждого $A$ перебираем все значения $x$ и $y$ от $1$ до $999$ через вложенные циклы for. Для каждой тройки $(A,x,y)$ вычисляем логическое выражение. Если хотя бы для одной пары $(x,y)$ выражение оказалось ложным, текущее $A$ отбрасываем. Если выражение истинно для всех $(x,y)$ , текущее $A$ подходит как минимальное, и выводим его.

Решение программой:

# функция проверяет выполнение выражения для конкретного x, y и A
def f(x, y, a):
    return (x > 23) or (a > x) or (a > y) or (y > 47)

# перебор возможных значений A от 0 до 999
for a in range(1000):
    # предполагаем, что текущее A подходит
    podh = True
    # перебор x от 1 до 999
    for x in range(1000):
        # перебор y от 1 до 999
        for y in range(1000):
            # если выражение не выполняется для текущих x и y
            if not(f(x, y, a)):
                # меняем флаг, так как условие не выполняется
                podh = False
                # выходим из цикла y, нашли "плохую" пару
                break
        # выходим из цикла x, так как условие уже не выполняется
        if not(podh):
            break
    # если выражение выполняется для всех x и y, выводим A и прерываем поиск
    if podh:
        print(a)
        break

Ответ: 24

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#23502Максимум баллов за задание: 1

Укажите наименьшее целое значение $A$ , при котором выражение

(5k + 6n > 57)∨ ((k ≤ A )∧(n < A))

истинно для любых целых положительных значений $k$ и $n$ .

Показать ответ и решение

Аналитическое решение:

Инвертируем известную часть:

5k+ 6n ≤ 57

Чтобы выражение было истинным, для $A$ должны выполняться сразу оба условия из правой части, поэтому для $5k +6n ≤ 57$ стоит подобрать 2 пары: с наибольшим значение $k$ , и с наибольшим значением $n$ , и выбрать из двух возможных $A$ наибольшее, чтобы при меньших значениях $k$ и $n$ выражение точно было истиной.

$k = 10,n = 1$ , поскольку $k > n$ , рассмотрим $k ≤ A$ :

$10 <= A$ , $A = 10$ .

$k = 1,n = 8$ , поскольку $k < n$ , рассмотрим $n < A$ :

$8 < A$ , $A = 9$ .

Т.к. $10 > 9,A = 10$

Идея решения:

Идея заключается в переборе возможных целых неотрицательных значений параметра $A$ с помощью цикла for. Для каждого фиксированного $A$ проверяем все положительные целые пары $(k,n)$ в некотором достаточном диапазоне (в программе это $1...999$ ). Для каждой пары вычисляем логическое выражение

(5k+ 6n > 57)∨ ((k ≤ A)∧ (n < A)).

Если найдётся хотя бы одна пара $(k,n)$ , для которой выражение ложно, текущее $A$ не подходит. Первый (то есть наименьший) $A$ , для которого выражение истинно для всех проверенных $(k,n)$ , и будет ответом.

Решение программой:

# перебор возможных значений A от 0 до 999
for a in range(0, 1000):
    # флаг: True - предполагаем, что текущее A подходит
    flag = True
    # перебор k от 1 до 999
    for k in range(1, 1000):
        # перебор n от 1 до 999
        for n in range(1, 1000):
            # если выражение ложно для текущих k и n, помечаем A как неподходящее
            if not ((5 * k + 6 * n > 57) or ((k <= a) and (n < a))):
                flag = False
                # выходим из внутреннего цикла n, так как нашли "плохую" пару
                break
        # если уже найдена "плохая" пара, выходим из цикла k
        if not flag:
            break
    # если ни одной "плохой" пары не нашлось, печатаем текущее (наименьшее) A и прерываем поиск
    if flag:
        print(a)
        break

Ответ: 10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#25775Максимум баллов за задание: 1

Укажите наибольшее целое значение А, при котором выражение

3 2 (y − x ⁄= 5) ∨(A < 2x + y)∨ (A < y + 16)

истинно для любых целых положительных значений x и y.

Показать ответ и решение

Аналитическое решение:

Инвертируем известную часть:

y − x = 5

Пары, которые будут подходить под такое условие: $y = 6,x = 1$ ; $y = 7,x = 2$ ; $y = 8,x = 3$ и т.д.

Оба условия для $A$ построены так, что $A$ должно быть меньше правой части. Следовательно, чтобы $A$ точно было меньше при любых значениях $x$ и $y$ , надо взять наименьшие возможные значения для данных переменных, чтобы при больших значениях условие точно выполнялось.

Пара, подходящая под данное условие - это $y = 6,x = 1$ .

$3 A < (2∗ 1) +6$ , $A = 13$

$A < 62 + 16$ , $A = 51$ .

Наибольшим значением для $A$ - это 51.

Идея решения:

Проверяем программно все неотрицательные кандидаты $A$ в заданном диапазоне (в коде — 0 до 99). Для каждого фиксированного $A$ с помощью вложенных циклов for перебираем все положительные целые пары $(x,y)$ (в коде — от $1$ до $999$ ). Для каждой пары вычисляем логическое выражение

3 2 (y − x ⁄= 5)∨ (A < 2x + y)∨ (A < y + 16).

Если для какой-либо пары выражение ложно, данный $A$ не подходит. Если же для всех перебранных пар выражение истинно, этот $A$ считается подходящим. Поскольку требуется найти наибольшее подходящее $A$ , в конце нужно взять максимум среди всех подходящих $A$ .

# Функция проверяет, подходит ли конкретное значение A
def f(a):
    # Перебираем x в диапазоне от 1 до 999
    for x in range(1, 1000):
        # Перебираем y в диапазоне от 1 до 999
        for y in range(1, 1000):
            # Проверяем выполнение логического выражения
            # Если выражение ложно хотя бы для одной пары (x, y),
            # то данный A не подходит
            if ((y - x != 5) or (a < 2 * x ** 3 + y)
                or (a < y ** 2 + 16)) == False:
                return False
    # Если не найдено ни одной "плохой" пары, значит A подходит
    return True

# Перебираем A от 0 до 99
for a in range(100):
    # Если A подходит
    if f(a):
        # Выводим его
        print(a)

Ответ: 51

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#26175Максимум баллов за задание: 1

Найдите наименьшее целое значение А, при котором выражение

(5k + 6n > 57)∨ ((k ≤ A )∧(n < A))

истинно для любых целых положительных значений $k$ и $n.$ В ответе запишите полученное число, возведенное в квадрат.

Показать ответ и решение

Аналитическое решение:

Инвертируем известную часть:

5k+ 6n ≤ 57

$k = 10,n = 1$ , поскольку $k > n$ , рассмотрим $k ≤ A$ :

$10 <= A$ , $A = 10$ .

$k = 1,n = 8$ , поскольку $k < n$ , рассмотрим $n < A$ :

$8 < A$ , $A = 9$ .

Т.к. $10 > 9,A = 10$ , и нужно возвести $10$ в квадрат.

Идея решения:

Перебираем значения $A$ в порядке возрастания, начиная с $0$ . Для каждого фиксированного $A$ перебираем все положительные целые значения $k$ и $n$ (в коде — от $1$ до $999$ ) и проверяем выполнение логического выражения

(5k+ 6n > 57)∨ ((k ≤ A)∧ (n < A)).

Если хотя бы для одной пары $(k,n)$ условие не выполняется, такой $A$ исключается. Первый $A$ , для которого условие истинно при всех проверяемых $(k,n)$ , является минимальным подходящим. По условию задачи в ответ записываем квадрат найденного $A$ .

Решение программой:

# Перебираем возможные значения A
for A in range(100000):
    # Считаем, что A подходит, пока не доказано обратное
    flag = True

    # Перебираем значения k
    for k in range(1, 1000):
        # Перебираем значения n
        for n in range(1, 1000):
            # Проверяем выполнение условия задачи
            f = (5*k + 6*n > 57) or ((k <= A) and (n < A))

            # Если условие не выполняется — A не подходит
            if f == 0:
                flag = False
                break

        # Если A уже не подходит — прерываем внешний цикл k
        if not flag:
            break

    # Если A подошёл — выводим его квадрат и завершаем поиск
    if flag:
        print(A**2)
        break

Ответ: 100