Неравенства —Каталог задач по ЕГЭ - Информатика БУ

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#5784

Для какого наибольшего целого неотрицательного числа $A$ выражение

(69 ⁄= y + 2x ) ∨ (A < x) ∨ (A < y)

тождественно истинно (т.е. принимает значение 1 при любом неотрицательном целом значении переменной $x$ и $y)?$

Показать ответ и решение

for a in range(0, 1000):
    c = 0  # Переменная-флаг
    for x in range(1, 1000):
        for y in range(1, 1000):
            if ((y + 2*x != 69) or (a < x) or (a < y)) == False:
                c = 1
                break
        if c == 1:
            break
    if c == 0:
        print(a)

Ответ: 22

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#6482

Каково наибольшее целое $X,$ при котором истинно высказывание:
$(50 < X ⋅ X ) → (50 > (X + 1) ⋅ (X + 1))?$

Показать ответ и решение

Решение руками

Заметим, что логическое следование ложно только в случае $1 → 0$ . Значит, нужно понять, при каких x впервые наступит такое условие (и взять x меньше, но максимальный).

Такое условие получается при x = 8: $(50 < 64) → (50 > 81)$ .

Возьмем x = 7: $(50 < 49) → (50 > 64)$ . Получили следование из 0 в 0, что дает истину. Значит, наибольший x = 7.

Решение прогой

for x in range(1000):
    if (50 < x * x) <= (50 > (x + 1) * (x + 1)):
        print(x)

Ответ: 7

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#6484

Для какого наибольшего целого неотрицательного числа $A$ выражение
$(99 ⁄= y + 2x) ∨ (A < x) ∨ (A < y)$
тождественно истинно (т.е. принимает значение 1 при любом неотрицательном целом значении переменных $x$ и $y)?$

Показать ответ и решение

def f(a):
    for x in range(1000):
        for y in range(1000):
            if not((99 != y + 2 * x) or (a < x) or (a < y)):
                return False
    return True

for a in range(1000):
    if f(a):
        print(a)

Ответ: 32

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#16307

Для какого наименьшего целого неотрицательного числа $A$ выражение

(69 < y +2x) ∨(A > x)∨ (A > y)

тождественно истинно (т.е. принимает значение 1 при любых неотрицательных целых значениях переменных $x$ и $y$ )?

Показать ответ и решение

Решение 1

def f(a):
    for x in range(1, 1000):
        for y in range(1, 1000):
            if ((69 < y + 2 * x) or (a > x) or (a > y)) == False:
                return False
    return True

for a in range(1000):
    if f(a):
        print(a)
        break

Решение 2

Враги хотят чтобы $x$ и $y$ были как можно больше и при этом $y+ 2x$ было меньше либо равно 69. $x$ и $y$ должны быть одновременно большими чтобы обе скобки с $A$ были ложны. Это возможно когда они оба равны 23 и их сумма бадет равна 69.

Тогда друзья подберут такой $A$ , что он будет гарантированно больше 23. Такой наименьший $A = 24$ .

Ответ: 24

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#16308

Для какого наибольшего целого неотрицательного числа $A$ выражение

(x + 3y > A )∨ (x < 18)∨ (y < 33)

тождественно истинно при любых целых неотрицательных $x$ и $y?$

Показать ответ и решение

Решение 1 (руками)

Инвертируем известную часть:

(x ≥ 18) ∧(y ≥ 33)

Это выражение истино (а исходное соответственно ложно) при $x ≥ 18$ и $y ≥ 33$ одновременно. Неизвестная часть $x + 3y > A$ говорит, что сумма x и 3y должна быть больше чем A, тогда возьмем максимальные x и y из известной части, так как они же будут являться минимальными значениями при которых неизвестная часть должна давать истину. Подставим $x = 18$ и $y = 33$ , получим $18 + 99 = 117 > A$ , отсюда $A = 116$ .

Решение 2 (прогой)

def f(a):
    for x in range(1, 1000):
        for y in range(1, 1000):
            if not ((x + 3 * y > a) or (x < 18) or (y < 33)):
                return False
    return True


for a in range(1000, 0, -1):
    if f(a):
        print(a)
        break

Ответ: 116

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#16309

Для какого наибольшего целого неотрицательного числа $A$ выражение

-------- (3x+ 9y ≥ A)∨ (x > 20) ∨(y < 10)

тождественно истинно при любых целых неотрицательных $x$ и $y?$

Показать ответ и решение

Решение руками

Инвертируем известную часть:

(x > 20) ∨(y ≥ 10)

Это выражение истино (а исходное соответственно ложно) при $x > 20$ и $y ≥ 10$ одновременно. Неизвестная часть $3x + 9y ≥ A$ говорит, что сумма 3x и 9y должна быть больше или равна чем A, тогда возьмем максимальные x и y из известной части, так как они же будут являться минимальными значениями при которых неизвестная часть должна давать истину. Подставим $x = 21$ и $y = 10$ , получим $63 + 90 = 153 ≥ A$ , отсюда $A = 153$ .

Решение программой

def f(a):
    for x in range(1, 1000):
        for y in range(1, 1000):
            if not ((3 * x + 9 * y >= a) or not (x > 20) or (y < 10)):
                return False
    return True


for a in range(1000, 0, -1):
    if f(a):
        print(a)
        break

Ответ: 153

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#16310

Для какого наибольшего целого неотрицательного числа $A$ выражение

( 13 ) ------- x+ --y ≥ A ∨ (x ≥ y)∨ (y < 7) 9

тождественно истинно при любых целых неотрицательных $x$ и $y?$

Показать ответ и решение

Решение 1

Враги хотят чтобы $x$ и $y$ были как можно меньше и при этом $x ≥ y$ и $y ≥ 7$ . Тогда они возьмут $x = 7,y = 7$ .

Тогда друзья подберут такой $A$ , что он будет гарантированно меньше либо равен $13 x + 9-y = 17,(1)$ . Такой наибольший $A = 17$ .

Решение 2

def f(a):
    for x in range(1, 1000):
        for y in range(1, 1000):
            if ((x + 13/9 * y >= a) or not(x >= y) or (y < 7)) == False:
                return False
    return True

for a in range(100):
    if f(a):
        print(a)

Ответ: 17

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#16311

Для какого наибольшего целого неотрицательного числа $A$ выражение

(5x + 2y ⁄= 85)∨ (A ≤ x)∨ (x ≤ y)

тождественно истинно при любых целых неотрицательных $x$ и $y?$

Показать ответ и решение

Решение 1 (руками)

Враги хотят чтобы $x$ был как можно меньше и при этом $5x + 2y = 85$ и $x > y$ . Тогда они возьмут $x = 13,y = 10$ .

Тогда друзья подберут такой $A$ , что он будет гарантированно меньше либо равен $x = 13$ . Такой наибольший $A = 13$ .

Решение 2 (прогой)

def f(a):
    for x in range(1, 1000):
        for y in range(1, 1000):
            if not ((5 * x + 2 * y != 85) or (a <= x) or (x <= y)):
                return False
    return True


for a in range(1000, 0, -1):
    if f(a):
        print(a)
        break

Ответ: 13

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#18039

Для какого наименьшего целого неотрицательного числа $A$ выражение

(x < A )∨(x < 20)∨ (x > 30)

тождественно истинно, т.е. принимает значение $1$ при любых целых неотрицательных $x$ ?

Показать ответ и решение

Составим систему для врагов:

$( ||| x ≥ A { || x ≥ 20 |( x ≤ 30$

Враги мечтают, чтобы $x ∈ [20;30]$ и $x ≥ A$ . Тогда максимальный $x$ , который смогут взять враги, чтобы победить, будет равен $30$ . Мечты врагов такие: «Вот бы $30 ≥ A$ ». Тогда друзья говорят: «Нет, $30 < A$ ». Минимальное подходящее $A$ равно $31$ .

Решение программой:

for a in range(1000):
    fl = 0
    for x in range(1000):
        f = (x < a) or (x < 20) or (x > 30)
        if f == 0:
            fl = 1
            break
    if not fl:
        print(a)
        break

Ответ: 31

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#18040

Для какого наименьшего целого неотрицательного числа $A$ выражение

(x2 − 3x+ 2 > 0)∨ (y > x2 + 7)∨ (xy < A )

тождественно истинно, т.е. принимает значение $1$ при любых целых неотрицательных $x,y$ ?

Показать ответ и решение

Составим систему для врагов:

( |||{x2 − 3x+ 2 ≤ 0 y ≤ x2 + 7 ||| (xy ≥ A

Запишем мечты врагов:

1) $x ∈ [1;2]$ , так как $2 x − 3x+ 2 = (x − 1)(x − 2)$ .

2) выражение $xy$ должно быть как можно больше. Следовательно, враги хотят выбрать самый большой $x$ и самый большой $y$ , который должен быть не больше $x2 + 7$ .

Тогда враги возьмут $x = 2,y = 22 + 7 = 11$ .

Друзья хотят, чтобы $A$ было строго больше $2 ⋅11 = 22$ . Минимальный такой $A = 23$ .

Решение программой

def f(x, y, a):
    return (x ** 2 - 3 * x + 2 > 0) or (y > x ** 2 + 7) or (x * y < a)
for a in range(1000):
    fl = 0
    for x in range(300):
        for y in range(300):
            if not f(x, y, a):
                fl = 1
                break
        if fl:
            break
    if not fl:
        print(a)
        break

Ответ: 23

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#20048

Для какого наименьшего целого неотрицательного числа $A$ выражение

(y + 2x < A )∨ (x > 30)∨ (y > 20)

тождественно истинно, то есть принимает значение $1$ при любых целых неотрицательных $x$ и $y$ ?

Показать ответ и решение

Решение 1. Руками

Система для врагов:

( |||y + 2x ≥ A { ||x ≤ 30 |(y ≤ 20

Чтобы условия врагов не выполнялись, друзья должны взять такое $A$ , чтобы при всех $x$ и $y$ , которые хотят враги выполнялось $y + 2x < A$ . Чтобы получить $A$ , которое в данном неравенстве подойдет для всех значений $x$ и $y$ , возьмем максимально допустимые по врагам $x$ и $y$ (если $A$ подойдет для них, то для меньших тем более).

Получим: $20+ 2 ⋅30 < A$ . Откуда следует, что $A = 81$ .

Решение 2. Прогой

def f(x, y, A):
    return (y + 2 * x < A) or (x > 30) or (y > 20)
for A in range(10000):
    met_false = False
    for x in range(1000):
        for y in range(1000):
            if not f(x, y, A):
                met_false = True
                break
        if met_false:
            break
    if not met_false:
        print(A)
        break

Решение 3. Прогой

def f(a):
    for x in range(1000):
        for y in range(1000):
            if not((y + 2 * x < a) or (x > 30) or (y > 20)):
                return False
    return True
for a in range(1000):
    if f(a):
        print(a)
        break

Ответ: 81

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#22206

Для какого наибольшего целого неотрицательного числа $A$ выражение

$(x + 3y > A )∨(x < 18)∨(y < 33)$

тождественно истинно при любых целых неотрицательных $x$ и $y?$

Показать ответ и решение

def f(x, y, A):
    return (x + 3*y > A) or (x < 18) or (y < 33)
ans = 0
for a in range(1, 500):
    for x in range(1, 500):
        for y in range(1, 500):
            flag = True
            if not f(x, y, a):
                flag = False
                break
        if not flag:
            break
    if flag:
        ans = max(a, ans)
print(ans)

Ответ: 116

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#22207

Для какого наименьшего целого неотрицательного числа $A$ выражение

$(2x + 5y ≤ A) ∨(x ≥ y)∨ (y > 11)$

тождественно истинно при любых целых неотрицательных $x$ и $y?$

Показать ответ и решение

Решение 1. Руками

Система для врагов:

( ||| 2x+ 5y > A { || x < y |( y ≤ 11

Чтобы условия врагов не выполнялись, друзья должны взять такое $A$ , чтобы при всех $x$ и $y$ , которые хотят враги выполнялось $2x + 5y ≤ A$ . Чтобы получить $A$ , которое в данном неравенстве подойдет для всех значений $x$ и $y$ возьмем максимально допустимые по врагам $x$ и $y$ (если $A$ подойдет для них, то для меньших тем более).

Получим: $2 ⋅10 + 5⋅11 ≤ A$ . Откуда следует, что $A = 75$ .

Решение 2. Прогой

def f(x, y, A):
    return (2 * x + 5 * y <= A) or (x >= y) or (y > 11)
for a in range(500):
    for x in range(100):
        for y in range(100):
            flag = True
            if not f(x, y, a):
                flag = False
                break
        if not flag:
            break
    if flag:
        print(a)
        break

Ответ: 75

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#22650

Для какого наименьшего целого неотрицательного числа $A$ выражение

$(y+ 2x < A)∨ (30 < x)∨ (20 < y)$

тождественно истинно при любых целых неотрицательных $x$ и $y?$

Показать ответ и решение

def f(x, y, A):
    return (y + 2*x < A) or (30 < x) or (20 < y)
ans = 10000000
for a in range(100):
    for x in range(100):
        for y in range(100):
            flag = True
            if not f(x, y, a):
                flag = False
                break
        if not flag:
            break
    if flag:
        ans = min(a, ans)
print(ans)

Ответ: 81

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#22651

Для какого наибольшего целого неотрицательного числа $A$ выражение

$((x ≤ 9) → (x⋅x ≤ A))∧ ((y ⋅y ≤ A ) → (y ≤ 10))$

тождественно истинно при любых целых неотрицательных $x$ и $y?$

Показать ответ и решение

def f(a):
    for x in range(1, 1000):
        for y in range(1, 1000):
            if (((x <= 9) <= (x * x <= a)) and
                ((y * y <= a) <= (y <= 10))) == False:
                return False
    return True

for a in range(1000):
    if f(a):
        print(a)

Ответ: 120

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#22652

Сколько существует целых неотрицательных чисел $A$ , при которых выражение

$((y⋅y < A) → (y ≤ 8))∧((x ≤ 5) → (x⋅x ≤ A ))$

тождественно истинно (т.е. принимает значение 1 при любых неотрицательных целых значениях переменных $x$ и $y$ )?

Показать ответ и решение

count = 0
for a in range(0, 1000):
    c = 0  # Переменная-флаг
    for x in range(1, 1000):
        for y in range(1, 1000):
            if (((y*y < a) <= (y <= 8)) and ((x <= 5) <= (x*x <= a))) == False:
                c = 1
                break
        if c == 1:
            break
    if c == 0:
        count += 1
print(count)

Ответ: 57

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#23187

Для какого наименьшего целого числа $A$ формула

(x > 23)∨ (A > x) ∨(A > y)∨ (y > 47)

тождественно истинна при любых положительных $x$ и $y$ ?

Показать ответ и решение

Решение 1. Руками

Система для врагов:

( ||| x ≤ 23 |||{ A ≤ x ||| A ≤ y |||( y ≤ 47

Чтобы условия врагов не выполнялись, друзья должны взять такое $A$ , чтобы при всех $x$ и $y$ , которые хотят враги выполнялось $A > x$ или $A > y$ (хотя бы одно из условий). Чтобы получить искомое $A$ , посмотрим, какие значения $\text{[math]}$ нас принимают $x$ и $y$ . Из неравенств следует, что максимальные значения $x$ и $y$ равны $23$ и $47$ соответсвенно. А значит, можно выбрать то условие для $A$ , где оно больше всех значений $x$ (т.к. найдутся значения $y$ больше). Тогда чтобы выполнилось условие $A > x$ значение, которое должно принимать $A = 24$ .

Решение 2. Программой

def f(x, y, a):
    return (x > 23) or (a > x) or (a > y) or (y > 47)

for a in range(1000):
    podh = True
    for x in range(1000):
        for y in range(1000):
            if not(f(x, y, a)):
                podh = False
                break
        if not(podh):
            break
    if podh:
        print(a)
        break

Решение 3. Программой

def f(a):
    for x in range(1000):
        for y in range(1000):
            # если отрицание функции истинно, то такое a
            # не подходит
            if not((x > 23) or (a > x) or (a > y) or(y > 47)):
                return False
    # если все значения A прошли проверку, то вернем истину
    return True
for a in range(100):
    if f(a):
        print(a)
        break

Ответ: 24

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#23502

Укажите наименьшее целое значение $A$ , при котором выражение

(5k + 6n > 57)∨ ((k ≤ A )∧(n < A))

истинно для любых целых положительных значений $k$ и $n$ .

Показать ответ и решение

for a in range(0, 1000):
    flag = True
    for k in range(1, 1000):
        for n in range(1, 1000):
            if not ((5 * k + 6 * n > 57) or ((k <= a) and (n < a))):
                flag = False
                break
    if flag:
        print(a)
        break

Ответ: 10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#25775

Укажите наибольшее целое значение А, при котором выражение

3 2 (y − x ⁄= 5) ∨(A < 2x + y)∨ (A < y + 16)

истинно для любых целых положительных значений x и y.

Показать ответ и решение

def f(a):
    for x in range(1, 1000):
        for y in range(1, 1000):
            if ((y - x != 5) or (a < 2 * x ** 3 + y)
                or (a < y ** 2 + 16)) == False:
                return False
    return True

for a in range(100):
    if f(a):
        print(a)

Ответ: 51

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#26148

Укажите наименьшее целое значение $A,$ при котором выражение

(5k + 6n > 57)∨ ((k ≤ A )∧(n < A))

истинно для любых целых положительных значений $k$ и $n.$

Показать ответ и решение

Решение 1

Система для врагов:

( ||{5k + 6n ≤ 57 [ ||( k > A n ≥ A

Враги мечтают чтобы $5k+ 6n ≤ 57$ и при этом k было бы больше A или чтобы n было бы больше или равно A. Значит, нужно понять, какие максимальные значения могут принимать k и n. Максимальное k = 10, максимальное n = 8. Чтобы условия врагов не выполнялись, друзья должны взять такое A, чтобы $((k ≤ A)∧ (n < A )).$ Наименьшим значением будет A = 10.

Решение 2

for A in range(10000):
    flag = True
    for k in range(1, 1000):
        for n in range(1, 1000):
            f = (5*k + 6*n > 57) or ((k <= A) and (n < A))
            if f == 0:
                flag = False
                break
        if flag == False:
            break
    if flag:
        print(A)
        break

Ответ: 10

15.03 Неравенства