15.03 Неравенства

Решение аналитикой

Формула состоит из двух частей:

1.

2.

Формула будет истинной, если хотя бы одна из частей истинна.

Первая часть является импликацией, которая истинна в следующих случаях:

- Если ложно, то есть .

- Если истинно, то необходимо, чтобы .

Таким образом, для первой части формулы можно записать два условия:

1. Если , тогда должно выполняться условие .

2. Если , то первая часть всегда истинна.

Вторая часть формулы будет ложной только в одном случае: когда . Чтобы формула была тождественно истинной, необходимо, чтобы первое условие обеспечивало истинность в случае, когда .

Рассмотрим случай, когда . Из этого уравнения можно выразить . Теперь подставим это значение во вторую часть:

Таким образом, для первой части формулы при условии :

или

Теперь у нас есть два условия:

1.

2.

Чтобы обе части были истинны одновременно, необходимо:

Решим это неравенство:

Следовательно, наибольшее целое число , которое удовлетворяет этому неравенству, равно:

Идея решения:

Перебираем целые значения по убыванию (в коде — от 100 до 2). Для каждого вложенными циклами for перебираем положительные значения и (в коде — от 1 до 999) и проверяем выполнение выражения

Если найдётся хотя бы одна пара , для которой выражение не выполняется (ложно), текущее отбрасываем. Первое , для которого выражение истинно для всех перебранных , и будет искомым наибольшим.

Решение программой:

# перебираем значения A по убыванию
for A in range(100, 1, -1):
    p = True  # флаг, показывает, что A пока подходит
    # перебираем положительные x
    for x in range(1, 1000):
        # перебираем положительные y
        for y in range(1, 1000):
            # проверяем выражение
            f = ((x - 10 < A) <= (y + 28 >= 4 * A)) or (x + y != 17)
            if f == False:  # если выражение ложно
                p = False   # A не подходит
                break
        if p == False:  # если флаг снят, выходим из цикла по x
            break
    if p == True:  # если ложных выражений не найдено
        print(A)    # наибольшее подходящее A
        break