15.03 Неравенства

Аналитическое решение

Упростим выражение, раскрыв импликацию:

Нарисуем полученные неравенства на числовых осях:

Красным на этом рисунке выделены области, которые перекрываются известной частью выражения, а синей те части, которые необходимо перекрыть отрезком . Так как и , то наименьший отрезок, которым может быть это [-5; 5]. Так как если сделать его еще меньше, то будут точки на оси для которых выражение не будет являться истиной. Длина этого отрезка – 10.

Идея программного решения:

Перебираем все возможные отрезки на числовой прямой с шагом дискретизации (например, 0.25), чтобы учитывать вещественные значения. Для каждого отрезка проверяем тождественную истинность формулы для всех выбранных точек и :

- Если формула не выполняется для какой-либо пары , отрезок отбрасываем. - Если формула выполняется для всех перебранных точек, отрезок считается подходящим, и мы обновляем минимум длины .

После перебора всех вариантов отрезков минимальная найденная длина будет наименьшей возможной длиной отрезка , при которой формула тождественно истинна.

Решение программой:

minLen = 10**10  # Наименьшая длина отрезка A

# Перебор целых значений для a и b с шагом 0.25 (умножаем на 4)
for a in range(-30, 30):
    for b in range(a, 30):
        ok = 1  # Флаг, показывает, что отрезок подходит

        # Перебор x с шагом 0.25
        for x in range(-30*4, 30*4 + 1):
            x /= 4
            # Перебор y с шагом 0.25
            for y in range(-30*4, 30*4 + 1):
                y /= 4
                # Проверяем тождественную истинность формулы для текущих x, y
                F = ((a <= x <= b) <= (x**2 <= 100)) and ((y**2 <= 25) <= (a <= y <= b))
                if F == 0:  # Если формула не выполняется
                    ok = 0  # Отрезок не подходит
                    break  # Прерываем перебор y
            # Если формула не выполняется, прерываем перебор x
            if ok == 0:
                break
        # Если отрезок подошёл для всех x и y
        if ok == 1:
            # Обновляем минимальную длину
            minLen = min(minLen, (b - a))
# Выводим наименьшую возможную длину отрезка A
print(minLen)