15.03 Неравенства

Аналитическое решение

Упростим выражение, раскрыв импликацию:

Нарисуем полученные неравенства на числовых осях:

Красным на этом рисунке выделены области, которые перекрываются известной частью выражения, а синей те части, которые необходимо перекрыть отрезком .

Так как и , то наименьший отрезок, которым может быть это [-6; 6]. Так как если сделать его еще меньше, то будут точки на оси для которых выражение не будет являться истиной. Длина этого отрезка – 12.

Наибольший отрезок, которым может быть это [-9; 9]. Так как если сделать его еще больше, то будут точки на оси для которых выражение не будет являться истиной. Длина этого отрезка – 18.

Остается только найти разницу между этими числами: .

Идея программного решения:

Перебираем все возможные отрезки на числовой прямой с шагом дискретизации (например, 0.25), чтобы учитывать вещественные значения. Для каждого отрезка проверяем тождественную истинность формулы для всех выбранных точек и :

- Если формула не выполняется для какой-либо пары , отрезок отбрасываем. - Если формула выполняется для всех перебранных точек, отрезок считается подходящим. - Для подходящих отрезков сохраняем минимальную и максимальную длину .

Разница между максимальной и минимальной длиной будет искомым ответом.

Решение программой:

# Наименьшая длина отрезка A
minLen = 10**10

# Наибольшая длина отрезка A
maxLen = 0

# Перебор возможных значений a и b (отрезок A = [a,b])
for a in range(-30, 30):
    for b in range(a, 30):
        # Флаг, показывает, что отрезок подходит
        ok = 1
        # Перебор x с шагом 0.25
        for x in range(-30*4, 30*4 + 1):
            x /= 4
            # Перебор y с шагом 0.25
            for y in range(-30*4, 30*4 + 1):
                y /= 4
                # Проверяем тождественную истинность формулы для текущих x и y
                F = ((a <= x <= b) <= (x**2 <= 81)) and ((y**2 <= 36) <= (a <= y <= b))

                # Если формула не выполняется для текущих x и y
                if F == 0:
                    # Отрезок не подходит
                    ok = 0
                    # Прерываем перебор y
                    break

            # Если формула не выполняется, прерываем перебор x
            if ok == 0:
                break
        # Если отрезок подходит для всех x и y
        if ok == 1:
            # Обновляем минимальную длину
            minLen = min(minLen, (b - a))
            # Обновляем максимальную длину
            maxLen = max(maxLen, (b - a))
# Выводим разницу между максимальной и минимальной длиной
print(maxLen - minLen)