Тема 15. Алгебра логики – преобразование логических выражений

15.03 Неравенства

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра логики – преобразование логических выражений

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 61#63014Максимум баллов за задание: 1

Для какого наименьшего целого неотрицательного числа A выражение

(x ≥ 7) ∨(2x < y)∨(xy < A)

тождественно истинно при любых целых неотрицательных X и Y ?

Показать ответ и решение

Решение руками:

Отрицаем известную часть: $(x < 7) ∧(y ≤ 2x )$ . Чтобы найти минимальное значение $A$ необходимо, чтоб произведение $xy$ было максимальным. Исходя из полученных неравенств получим $x = 6$ , тогда $y = 12$ . Теперь подставим эти значения в неравенство $(xy < A)$ . Получим $72 < A$ . Тогда минимально $A = 73$ .

Решение программой:

Для нахождения наименьшего целого неотрицательного $A$ , при котором выражение

(x ≥ 7) ∨(2x < y)∨(xy < A)

тождественно истинно для всех неотрицательных целых $x$ и $y$ , используем программный перебор. Идея заключается в том, чтобы проверить все значения $A$ от 0 до 99 с помощью цикла for. Для каждого $A$ перебираем все значения $x$ от 0 до 100 и $y$ от 0 до 99 через вложенные циклы for. Если хотя бы для одной пары $(x,y)$ выражение оказалось ложным, текущее $A$ отбрасываем. Если выражение истинно для всех $(x,y)$ , фиксируем найденное минимальное $A$ и прекращаем перебор.

for a in range(100):
    f = 0  # флаг: 0 - выражение пока истинно для всех x и y, 1 - найдено ложное значение
    # перебор всех x от 0 до 100
    for x in range(101):
        # перебор всех y от 0 до 99
        for y in range(100):
            # проверка выполнения выражения для текущих x, y и A
            if ((x >= 7) or (2 * x < y) or (x * y < a)) == False:
                f = 1  # если выражение ложно, меняем флаг
                break  # выход из цикла по y
        if f == 1:
            break  # выход из цикла по x при найденном ложном случае
    if f == 0:
        # если выражение истинно для всех x и y, выводим A и прекращаем перебор
        print(a)
        break

Получаем ответ: $73.$

Ответ: 73

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 62#63531Максимум баллов за задание: 1

Укажите наименьшее целое значение A, при котором выражение

(3y+ x < A)∨ (x > 12)∨ (y > 15)

истинно для любых целых и положительных значений x и y.

Показать ответ и решение

Решение руками:

Отрицаем известную часть: $(x ≤ 12)∧ (y ≤ 15)$ . Чтобы найти минимальное значение $A$ необходимо, чтоб $x$ и $y$ были максимальны. Исходя из полученных неравенств получим $x = 12$ , $y = 15$ . Теперь подставим эти значения в неравенство $(3y+ x < A)$ . Получим $57 < A$ . Тогда минимально $A = 58$ .

Решение программой:

Для нахождения наименьшего целого $A$ , при котором выражение

(3y+ x < A)∨ (x > 12)∨ (y > 15)

тождественно истинно для всех положительных целых $x$ и $y$ , используем программный перебор. Идея заключается в том, чтобы проверить все значения $A$ от 0 до 299 с помощью цикла for. Для каждого $A$ перебираем все значения $x$ и $y$ от 1 до 499 через вложенные циклы for. Если хотя бы для одной пары $(x,y)$ выражение оказалось ложным, текущее $A$ отбрасываем. Если выражение истинно для всех $(x,y)$ , фиксируем найденное минимальное $A$ и прекращаем перебор.

for a in range(300):
    # Переменная-флаг: True - выражение пока истинно для всех x и y, False - найдено ложное значение
    flag = True
    # перебор всех x от 1 до 499
    for x in range(1, 500):
        # перебор всех y от 1 до 499
        for y in range(1, 500):
            # проверка выполнения выражения для текущих x, y и A
            # если выражение ложно, меняем флаг
            if (((3*y + x) < a) or (x > 12) or (y > 15)) == False:
                flag = False
                break  # выход из цикла по y
    # если выражение истинно для всех x и y, выводим A и прекращаем перебор
    if flag == True:
        print(a)
        break

Получается ответ: $58.$

Ответ: 58

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 63#72508Максимум баллов за задание: 1

Для какого наименьшего целого неотрицательного числа $A$ выражение

(3 ⋅x+ 5⋅y < A) ∨(y > x)∨(x > 15)

тождественно истинно, т.е. принимает значение 1 при любых целых неотрицательных $x$ и $y$ ?

Показать ответ и решение

Решение руками:

(3 ⋅x+ 5⋅y < A) ∨(y > x)∨(x > 15)

Нам нужно, чтобы это выражение всегда было истинно; так как между скобками стоит ИЛИ, то достаточно чтобы хотя бы одна скобка давала истину. Известная часть $(y > x )∨(x > 15)$ дает ложь когда $x ≤ 15$ и $y ≤ x$ . Получаем, что первая скобка обязательно должна давать истину когда $x ∈ [0;15]$ и $y ∈ [0;15]$ , то есть должно выполняться неравенство $A > 3 ⋅15+ 5⋅15 = 120$ . Наименьшее $A$ , которое подходит под условие это 121.

Решение программой:

Для нахождения наименьшего целого неотрицательного $A$ , при котором выражение

(3 ⋅x+ 5⋅y < A) ∨(y > x)∨(x > 15)

тождественно истинно для всех неотрицательных целых $x$ и $y$ , используем программный перебор. Идея заключается в том, чтобы проверить все значения $A$ от 0 до 999 с помощью цикла for. Для каждого $A$ перебираем все значения $x$ и $y$ от 0 до 999 через вложенные циклы for. Если хотя бы для одной пары $(x,y)$ выражение оказалось ложным, текущее $A$ отбрасываем. Если выражение истинно для всех $(x,y)$ , фиксируем найденное минимальное $A$ и прекращаем перебор.

for a in range(1000):
    # Переменная-флаг: True - выражение пока истинно для всех x и y, False - найдено ложное значение
    f = 0
    # перебор всех x от 0 до 999
    for x in range(1000):
        # перебор всех y от 0 до 999
        for y in range(1000):
            # проверка выполнения выражения для текущих x, y и A
            # если выражение ложно, меняем флаг
            if ((3*x+5*y < a) or (y > x) or (x > 15)) == False:
                f = 1
                break  # выход из цикла по y
        if f == 1:
            break  # выход из цикла по x
    # если выражение истинно для всех x и y, выводим A и прекращаем перебор
    if f == 0:
        print(a)
        break

Получаем ответ: $121.$

Ответ: 121

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 64#72578Максимум баллов за задание: 1

Для какого наибольшего целого неотрицательного числа $A$ выражение

(2⋅x + y > A )∨ (y < x)∨ (x < 28)

тождественно истинно, т.е. принимает значение 1 при любых целых неотрицательных $x$ и $y$ ?

Показать ответ и решение

Решение руками:

(2⋅x+ y > A)∨ (y < x) ∨(x < 28)

Нам нужно, чтобы это выражение всегда было истинно; так как между скобками стоит ИЛИ, то достаточно чтобы хотя бы одна скобка давала истину. Известная часть $(y < x)∨ (x < 28)$ дает ложь когда $y ≥ x$ и $x ≥ 28$ . Получаем, что первая скобка обязательно должна давать истину когда $x ∈ [28;+∞ ]$ и $y ∈ [28;+∞ ]$ , то есть должно выполняться неравенство $A < 2⋅28+ 28 = 84$ . Наибольшее $A$ , которое подходит под условие это 83.

Решение программой:

Для нахождения наибольшего целого неотрицательного $A$ , при котором выражение

(2⋅x+ y > A)∨ (y < x) ∨(x < 28)

тождественно истинно для всех неотрицательных целых $x$ и $y$ , используем программный перебор. Идея заключается в том, чтобы проверить все значения $A$ от 100 вниз до 2 с помощью цикла for. Для каждого $A$ перебираем все значения $x$ и $y$ от 0 до 999 через вложенные циклы for. Если хотя бы для одной пары $(x,y)$ выражение оказалось ложным, текущее $A$ отбрасываем. Если выражение истинно для всех $(x,y)$ , фиксируем найденное максимальное $A$ и прекращаем перебор.

for a in range(100, 1, -1):
    # Переменная-флаг: True - выражение пока истинно для всех x и y, False - найдено ложное значение
    f = 0
    # перебор всех x от 0 до 999
    for x in range(1000):
        # перебор всех y от 0 до 999
        for y in range(1000):
            # проверка выполнения выражения для текущих x, y и A
            # если выражение ложно, меняем флаг
            if ((2*x+y > a) or (y < x) or (x < 28)) == False:
                f = 1
                break  # выход из цикла по y
        if f == 1:
            break  # выход из цикла по x
    # если выражение истинно для всех x и y, выводим A и прекращаем перебор
    if f == 0:
        print(a)
        break

Получаем ответ: $83.$

Ответ: 83

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 65#72580Максимум баллов за задание: 1

Для какого наименьшего целого неотрицательного числа $A$ выражение

(x ⋅y < A )∨ (x < y)∨ (x > 5)

тождественно истинно, т.е. принимает значение 1 при любых целых неотрицательных $x$ и $y$ ?

Показать ответ и решение

Решение аналитически:

Первым шагом инвертируем известную часть, чтобы определить при каких $x$ исходное выражение будет ложно:

(x ≥ y)∧ (x ≤ 5)

Тепеь определим, для каких крайних значений $x$ и $y$ это выражение будет давать истину. Правая часть будет давать истину при $(x ≤ 5)$ , возьмем крайнее значение – 5. Используем это значение для левой части: $(5 ≥ y)$ . Получаем крайнее значение $y$ – 5.

Вернемся к неизвестной части и подставим туда найденные крайние значения: $(5⋅5 = 25 < A )$ , отсюда $A = 26$ .

Решение программой:

Для нахождения наименьшего целого неотрицательного $A$ , при котором выражение

(x⋅y < A)∨ (x < y)∨ (x > 5)

for a in range(1000):
    # Переменная-флаг: True - выражение пока истинно для всех x и y, False - найдено ложное значение
    f = 0
    # перебор всех x от 0 до 999
    for x in range(1000):
        # перебор всех y от 0 до 999
        for y in range(1000):
            # проверка выполнения выражения для текущих x, y и A
            # если выражение ложно, меняем флаг
            if ((x*y < a) or (x < y) or (x > 5)) == False:
                f = 1
                break  # выход из цикла по y
        if f == 1:
            break  # выход из цикла по x
    # если выражение истинно для всех x и y, выводим A и прекращаем перебор
    if f == 0:
        print(a)
        break

Получаем ответ: $26.$

Ответ: 26

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 66#72581Максимум баллов за задание: 1

Для какого наименьшего целого неотрицательного числа $A$ выражение

(2⋅x < y)∨(x > 13)∨ (x ⋅y < A )

тождественно истинно, т.е. принимает значение 1 при любых целых неотрицательных $x$ и $y$ ?

Показать ответ и решение

Решение аналитически:

Первым шагом инвертируем известную часть, чтобы определить при каких $x$ исходное выражение будет ложно:

(2⋅x ≥ y) ∧(x ≤ 13)

Тепеь определим, для каких крайних значений $x$ и $y$ это выражение будет давать истину. Правая часть будет давать истину при $(x ≤ 13)$ , возьмем крайнее значение – 13. Используем это значение для левой части: $(2 ⋅13 ≥ y)$ . Получаем крайнее значение $y$ – 26.

Вернемся к неизвестной части и подставим туда найденные крайние значения: $13 ⋅26 = 338 < A$ , отсюда $A = 339$ .

Решение программой:

Для нахождения наименьшего целого неотрицательного $A$ , при котором выражение

(2⋅x < y)∨ (x > 13)∨ (x⋅y < A)

for a in range(1000):
    # Переменная-флаг: True - выражение пока истинно для всех x и y, False - найдено ложное значение
    f = 0
    # перебор всех x от 0 до 999
    for x in range(1000):
        # перебор всех y от 0 до 999
        for y in range(1000):
            # проверка выполнения выражения для текущих x, y и A
            # если выражение ложно, меняем флаг
            if ((2*x < y) or (x > 13) or (x*y < a)) == False:
                f = 1
                break  # выход из цикла по y
        if f == 1:
            break  # выход из цикла по x
    # если выражение истинно для всех x и y, выводим A и прекращаем перебор
    if f == 0:
        print(a)
        break

Получаем ответ: $339.$

Ответ: 339

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 67#87939Максимум баллов за задание: 1

Для какого наименьшего целого числа А выражение

(x > 80) ∨(y > 70)∨(3⋅x − 5⋅y < A)

тождественно истинно, т.е. принимает значение 1 при любых целых неотрицательных x и y?

Показать ответ и решение

Решение руками:

Отрицаем известную часть и получаем, что:

(x ≤ 80)∧ (y ≤ 70)

То есть $x ∈ [0;80],y ∈ [0,70]$ . Нам необходимо, чтобы $A > 3 ⋅x− 5⋅y$ .

Максимальное значение в левой части третьей скобки достигается при значении x = 80; y = 0. Наименьшее значение А, при котором будет выполнено неравенство равняется: $A > 3⋅80− 5 ⋅0 → A > 240 → A = 241$ .

Решение программой:

Для нахождения наименьшего целого $A$ , при котором выражение

(x > 80) ∨(y > 70)∨(3⋅x − 5⋅y < A)

тождественно истинно для всех неотрицательных целых $x$ и $y$ , используем программный перебор. Идея заключается в том, чтобы проверить все значения $A$ от -1000 до 999 с помощью цикла for. Для каждого $A$ перебираем все значения $x$ и $y$ от 0 до 999 через вложенные циклы for. Если хотя бы для одной пары $(x,y)$ выражение оказалось ложным, текущее $A$ отбрасываем. Если выражение истинно для всех $(x,y)$ , фиксируем найденное минимальное $A$ и прекращаем перебор.

for a in range(-1000, 1000):
    # Переменная-флаг: 0 - выражение пока истинно для всех x и y, 1 - найдено ложное значение
    c = 0
    # перебор всех x от 0 до 999
    for x in range(0, 1000):
        # перебор всех y от 0 до 999
        for y in range(0, 1000):
            # проверка выполнения выражения для текущих x, y и A
            # если выражение ложно, меняем флаг
            if ((x > 80) or (y > 70) or (3*x - 5*y < a)) == False:
                c = 1
                break  # выход из цикла по y
        if c == 1:
            break  # выход из цикла по x
    # если выражение истинно для всех x и y, выводим A и прекращаем перебор
    if c == 0:
        print(a)
        break

Получаем ответ: $241.$

Ответ: 241

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 68#87946Максимум баллов за задание: 1

Для какого наименьшего целого числа А выражение

(y+ 10⋅x < A) ∨(5⋅x + 2⋅y > 102)

тождественно истинно, т.е. принимает значение 1 при любых целых натуральных x и y?

Показать ответ и решение

Решение руками

Отрицаем известную часть: $5⋅x + 2⋅y ≤ 102$ . Так как х и у – целые натуральные, то минимальное значение $y$ равно 1. Тогда $5⋅x ≤ 100$ , то есть $x = 20 max$ .

Значит, $A > 1 + 10⋅20 → A > 201 → A = 202$ .

Решение программой

Идея заключается в переборе возможных значений $A$ (от -1000 до 1000) и проверке, что для всех комбинаций $x$ и $y$ (от 1 до 1000) выражение $(y+ 10x < A)∨ (5x+ 2y > 102)$ выполняется. Если для какого-то $A$ найдётся хотя бы одна пара $(x,y)$ , нарушающая условие, это $A$ отбрасывается. Минимальное $A$ , при котором условие выполняется для всех $x$ и $y$ , и будет ответом.

Для реализации этой идеи создадим цикл for для перебора параметра $A$ . Внутри него, также с помощью циклов for, организуем перебор значений $x$ и $y$ . Для каждого $A$ будем создавать переменную-флаг, которая изначально равна 0. Если выражение ложно хотя бы для одного набора переменных, то её значение будем устанавливать 1. Если флаг стал равен 1, то можно прервать циклы по $x$ и $y$ и перейти к следующему $A$ . Если после перебора всех значений флаг остаётся 0, значит, выражение тождественно истинно. Так как по условию требуется найти минимальное $A$ , то если после завершения цикла флаг остался 0, выведем $A$ и прервём цикл.

# Перебираем возможные значения A в широком диапазоне
for a in range(-1000, 1000):
    c = 0  # Флаг: 0 - условие выполняется для всех x и y, 1 - нарушается
    for x in range(1, 1000): # Перебираем натуральные x
        for y in range(1, 1000): # Перебираем натуральные y
            # Проверяем, ложное ли выражение для текущих x, y и a
            if ((y + 10*x < a) or (5*x + 2*y > 102)) == False:
                c = 1 # Если да, меняем значение флага
                break # Прерываем цикл по y
        if c == 1: # Прерываем цикл по x, если флаг равен 1
            break
    # Если флаг остался 0, значит, для этого a условие выполнено для всех x и y
    if c == 0:
        print(a) # Выводим найденное минимальное A
        break # Завершаем поиск, так как ищем наименьшее A

Ответ: 202

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 69#136648Максимум баллов за задание: 1

Для какого наибольшего целого неотрицательного числа $A$ выражение

(x+ 2y < A)∨ (y > x) ∨(x > 60)

тождественно истинно при любых целых неотрицательных $x$ и $y?$

Показать ответ и решение

Аналитическое решение

Инвертируем известную часть:

(y ≤ x)∧ (x ≤ 60)

Нам нужно взять такое $A$ , чтобы оно было больше, чем $x+ 2y$ . Значит, стоит взять наибольшее возможное значение для $x$ и $y$ , чтобы при меньших значениях переменных условие точно выполнялось.

В таком случае, $x = 60$ и $y = 60$ .

Наименьшим $A$ , при котором неравенство $60+ 2× 60 = 180 < A$ выполняется, является $A = 181$ .

Решение программой:

Перебираем целые неотрицательные значения $A$ от 0 до 500. Для каждого $A$ вложенными циклами for перебираем все неотрицательные целые пары $(x,y)$ (в коде — от $0$ до $500$ ) и проверяем выполнение выражения $(y ≤ x)∨(y > x)∨ (x > 60)$

Если найдётся хотя бы одна пара $(x,y)$ , для которой выражение не выполняется (ложно), текущее $A$ отбрасываем. Если же для всех перебранных пар выражение истинно, $A$ считается подходящим и выводится как наибольшее.

# перебор возможных значений A от 0 до 500
for a in range(500):
    flag = True  # предполагаем, что текущее A подходит
    # перебор x от 0 до 500
    for x in range(500):
        # перебор y от 0 до 500
        for y in range(500):
            # если выражение ложно для текущих x,y — A не подходит
            if ((x + 2 * y < a) or (y > x) or (x > 60)) == False:
                flag = False
                # если нашли "плохую" пару, прекращаем перебор y
                break
        # прекращаем перебор x
        if flag == False:
            break
    # если выражение истинно для всех x,y, выводим A и завершаем поиск
    if flag == True:
        print(a)
        break

Ответ: 181