Тема 15. Алгебра логики – преобразование логических выражений

15.04 Побитовая конъюнкция

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра логики – преобразование логических выражений

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 41#54819Максимум баллов за задание: 1

Введём выражение $m&k$ , обозначающее поразрядную конъюнкцию $m$ и $k$ (логическое «И» между соответствующими битами двоичной записи). Для какого наименьшего натурального числа $A$ формула

((x&38 ⁄= 0)∨ (x &45 ⁄= 0)) → ((x&34 = 0) → (x&A ⁄= 0))

тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любом неотрицательном целом значении переменной $x$ )?

Показать ответ и решение

Для нахождения наименьшего натурального числа $A$ , при котором выражение

((x&38 ⁄= 0)∨ (x &45 ⁄= 0)) → ((x&34 = 0) → (x&A ⁄= 0))

тождественно истинно для всех неотрицательных целых $x$ , используем программный перебор. Идея заключается в том, чтобы проверить все значения $A$ от $1$ до $99$ . Для каждого $A$ перебираем все значения $x$ от $0$ до $1499$ и вычисляем логическое выражение формулы. Если хотя бы для одного $x$ формула ложна, текущее $A$ отбрасываем. Если формула истинна для всех $x$ , выводим найденное $A$ и прерываем цикл, так как ищем наименьшее значение.

# перебор возможных значений A от 1 до 99
for a in range(1, 100):
    # переменная-флаг, отслеживающая наличие ложных выражений
    f = 0
    for x in range(1500):
        # проверка истинности формулы для текущего X и A
        if (((x&38 != 0) or (x&45 != 0)) <= ((x&34 == 0) <= (x&a != 0))) == False:
            f = 1
            break
    # если формула выполняется для всех X, выводим наименьшее подходящее A и прекращаем цикл
    if f == 0:
        print(a)
        break

Ответ: 13

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 42#54820Максимум баллов за задание: 1

Введём выражение $m&k$ , обозначающее поразрядную конъюнкцию $m$ и $k$ (логическое «И» между соответствующими битами двоичной записи). Для какого наибольшего натурального числа $A$ формула

(x&A ⁄= 0) → ((x&17 = 0) → (x&33 ⁄= 0))

тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любом неотрицательном целом значении переменной $x$ )?

Показать ответ и решение

Для нахождения наибольшего натурального числа $A$ , при котором выражение

(x&A ⁄= 0) → ((x&17 = 0) → (x&33 ⁄= 0))

тождественно истинно для всех неотрицательных целых $x$ , используем программный перебор. Идея заключается в том, чтобы проверить все значения $A$ от $1$ до $99$ . Для каждого $A$ перебираем все значения $x$ от $0$ до $1499$ и вычисляем логическое выражение формулы. Если хотя бы для одного $x$ формула ложна, текущее $A$ отбрасываем. Если формула истинна для всех $x$ , выводим найденное $A$ . Поскольку ищем наибольшее значение, цикл продолжается до перебора всех возможных $A$ .

# перебор возможных значений A от 1 до 99
for a in range(1, 100):
    # переменная-флаг, отслеживающая наличие ложных выражений
    f = 0
    for x in range(1500):
        # проверка истинности формулы для текущего X и A
        if ((x&a != 0) <= ((x&17 == 0) <= (x&33 != 0))) == False:
            f = 1
            break
    # если формула выполняется для всех X, выводим найденное A
    if f == 0:
        print(a)

Ответ: 49

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 43#54821Максимум баллов за задание: 1

Для какого наименьшего натурального числа А формула

$((x&15 ⁄= 0)∧ (x&64 ⁄= 0)) → ((x&A ⁄= 0)∧ (x&15 ⁄= 0))$

тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любом неотрицательном целом значении переменной x)?

Показать ответ и решение

Для нахождения наименьшего натурального числа $A$ , при котором выражение

((x&15 ⁄= 0)∧ (x&64 ⁄= 0)) → ((x&A ⁄= 0)∧ (x&15 ⁄= 0))

тождественно истинно для всех неотрицательных целых $x$ , используем программный перебор. Идея заключается в том, чтобы проверить все значения $A$ от $1$ до $99$ . Для каждого $A$ перебираем все значения $x$ от $0$ до $1499$ и вычисляем логическое выражение формулы. Если хотя бы для одного $x$ формула ложна, текущее $A$ отбрасываем. Если формула истинна для всех $x$ , выводим найденное $A$ . Поскольку ищем наименьшее значение, цикл прекращается при первом найденном подходящем $A$ .

# перебор возможных значений A от 1 до 99
for a in range(1, 100):
     # переменная-флаг, отслеживающая наличие ложных выражений
     f = 0
     for x in range(1500):
         # проверка истинности формулы для текущего X и A
         if (((x&15 != 0) and (x&64 != 0)) <= ((x&a != 0) and (x&15 != 0))) == False:
             f = 1
             break
     # если формула выполняется для всех X, выводим найденное минимальное A и прекращаем цикл
     if f == 0:
         print(a)
         break

Ответ: 15

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 44#58092Максимум баллов за задание: 1

((x&45 ⁄= 0)∨ (x&28 ⁄= 0)∨(x&56 ⁄= 0)) → (x&A ⁄= 0)

тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любом неотрицательном целом значении переменной $x$ )?

Показать ответ и решение

Для нахождения наименьшего натурального числа $A$ , при котором выражение

((x&45 ⁄= 0)∨ (x&28 ⁄= 0)∨(x&56 ⁄= 0)) → (x&A ⁄= 0)

тождественно истинно для всех неотрицательных целых $x$ , используем программный перебор. Идея заключается в том, чтобы проверить все значения $A$ от $1$ до $999$ . Для каждого $A$ перебираем все значения $x$ от $0$ до $9999$ и вычисляем логическое выражение формулы. Если хотя бы для одного $x$ формула ложна, текущее $A$ отбрасываем. Если формула истинна для всех $x$ , выводим найденное $A$ . Поскольку ищем наименьшее значение, цикл прекращается при первом найденном подходящем $A$ .

# перебор возможных значений A от 1 до 999
for a in range(1,1000):
    # переменная-флаг, отслеживающая наличие ложных выражений
    f = 0
    for x in range(10000):
        # проверка истинности формулы для текущего X и A
        if (((x & 45 != 0) or (x & 28 != 0) or (x & 56 != 0)) <= (x & a != 0)) == False:
            f = 1
            break
    # если формула выполняется для всех X, выводим найденное минимальное A и прекращаем цикл
    if f == 0:
        print(a)
        break

Ответ: 61

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 45#60319Максимум баллов за задание: 1

Введём выражение $B&C$ , обозначающее поразрядную конъюнкцию B и C (логическое «И» между соответствующими битами двоичной записи). Определите наименьшее натуральное число A, такое что выражение

((x&937 ⁄= 0)∨ (x&78 ⁄= 0)) −→ (x&A ⁄= 0)

тождественно истинно (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной x)?

Показать ответ и решение

Для нахождения наименьшего натурального числа $A$ , при котором выражение

((x&937 ⁄= 0)∨ (x&78 ⁄= 0)) −→ (x&A ⁄= 0)

тождественно истинно для всех неотрицательных целых $x$ , используем программный перебор. Идея заключается в том, чтобы проверить все значения $A$ от $1$ до $1499$ . Для каждого $A$ перебираем все значения $x$ от $1$ до $4999$ и вычисляем логическое выражение формулы. Если хотя бы для одного $x$ формула ложна, текущее $A$ отбрасываем. Если формула истинна для всех $x$ , выводим найденное $A$ . Поскольку ищем наименьшее значение, цикл прекращается при первом найденном подходящем $A$ .

# перебор возможных значений A от 1 до 1499
for a in range(1, 1500):
    # переменная-флаг, которой присваивается 1, если хотя бы одно выражение выдаёт ложь
    f = 0
    for x in range(1, 5000):
        # проверка истинности формулы для текущего x и A
        if (((x & 937 != 0) or (x & 78 != 0)) <= (x & a != 0)) == False:
            f = 1
            break
    # если формула выполняется для всех x, выводим найденное минимальное A и прекращаем цикл
    if f == 0:
        print(a)
        break

Ответ: 1007

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 46#60320Максимум баллов за задание: 1

Определите наименьшее натуральное число A, такое что выражение

(x&45 ⁄= 0) −→ ((x&9 = 0) −→ (x&A ⁄= 0))

тождественно истинно (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной x)?

Показать ответ и решение

Для нахождения наименьшего натурального числа $A$ , при котором выражение

(x&45 ⁄= 0) −→ ((x&9 = 0) −→ (x&A ⁄= 0))

тождественно истинно для всех натуральных $x$ , используем программный перебор. Идея заключается в том, чтобы проверить все значения $A$ от $1$ до $299$ . Для каждого $A$ перебираем все значения $x$ от $1$ до $499$ и вычисляем логическое выражение формулы. Если хотя бы для одного $x$ формула ложна, текущее $A$ отбрасываем. Если формула истинна для всех $x$ , выводим найденное $A$ . Поскольку ищем наименьшее значение, цикл прекращается при первом найденном подходящем $A$ .

# перебор возможных значений A от 1 до 299
for a in range(1, 300):
    # переменная-флаг, которой присваивается 1, если хотя бы одно выражение выдаёт ложь
    f = 0
    for x in range(1, 500):
        # проверка истинности формулы для текущего x и A
        if ((x & 45 != 0) <= ((x & 9 == 0) <= (x & a != 0))) == False:
            f = 1
            break
    # если формула выполняется для всех x, выводим найденное минимальное A и прекращаем цикл
    if f == 0:
        print(a)
        break

Ответ: 36

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 47#60729Максимум баллов за задание: 1

Определите наименьшее натуральное число A, при котором выражение

(x&A = 0)∧ (x&58 ⁄= 0)∧ (x&22 = 0)

тождественно ложно (то есть принимает значение 0 при любом натуральном значении переменной x)?

Показать ответ и решение

Решение: Для нахождения наименьшего натурального числа $A$ , при котором выражение

(x&A = 0)∧ (x&58 ⁄= 0)∧ (x&22 = 0)

тождественно ложно для всех натуральных $x$ , используем программный перебор. Идея заключается в том, чтобы проверить все значения $A$ от $1$ до $100$ . Для каждого $A$ перебираем все значения $x$ от $1$ до $999$ и проверяем истинность выражения. Если выражение оказалось ложным для всех $x$ , текущий $A$ подходит. Поскольку ищем наименьшее $A$ , цикл прекращается после нахождения первого подходящего значения.

# перебор возможных значений A от 1 до 100
for A in range(1, 101):
    # счетчик для отслеживания количества x, для которых выражение ложно
    k = 0
    for x in range(1, 1000):
        # проверка, является ли выражение ложным для текущего x
        if ((x & A == 0) and (x & 58 != 0) and (x & 22 == 0)) == 0:
            k += 1
    # если выражение ложно для всех x, выводим найденное минимальное A и прекращаем цикл
    if k == 999:
        print(A)
        break

Ответ: 40

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 48#63012Максимум баллов за задание: 1

Введём выражение $m&k$ , обозначающее поразрядную конъюнкцию $m$ и $k$ (логическое «И» между соответствующими битами двоичной записи). Определите наибольшее натуральное число $A$ , такое что выражение

(x&A ⁄= 0) → ((x&14 = 0) → (x&75 ⁄= 0))

тождественно истинно (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной $x$ )?

Показать ответ и решение

Для нахождения наибольшего натурального числа $A$ , при котором выражение

(x&A ⁄= 0) → ((x&14 = 0) → (x&75 ⁄= 0))

тождественно истинно для всех натуральных $x$ , используем программный перебор. Идея заключается в том, чтобы проверить все значения $A$ от $1$ до $999$ . Для каждого $A$ перебираем все значения $x$ от $1$ до $1000$ и проверяем выполнение логического выражения. Если хотя бы для одного $x$ выражение ложно, текущий $A$ отбрасываем. Если выражение истинно для всех $x$ , $A$ подходит. В конце перебора наибольшее найденное значение $A$ является ответом.

# перебор возможных значений A от 1 до 999
for a in range(1, 1000):
    # переменная-флаг, которой присваивается 1, если хотя бы одно выражение ложно
    f = 0
    for x in range(1, 1001):
        # проверка логического выражения для текущего x и A
        if ((x & a != 0) <= ((x & 14 == 0) <= (x & 75 != 0))) == False:
            f = 1
            break
    # если выражение истинно для всех x, выводим найденное наибольшее A
    if f == 0:
        print(a)

Ответ: 79

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 49#63013Максимум баллов за задание: 1

Введём выражение M & K, обозначающее поразрядную конъюнкцию M и K (логическое «И» между соответствующими битами двоичной записи). Определите наибольшее натуральное число A, такое что выражение

(((X &13 ⁄= 0)∨ (X &A ⁄= 0)) → (X&13 ⁄= 0))∨ ((X &A ⁄= 0) ∧(X &39 = 0))

тождественно истинно (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной X)?

Показать ответ и решение

Для нахождения наибольшего натурального числа $A$ , при котором выражение

(((X &13 ⁄= 0)∨ (X &A ⁄= 0)) → (X&13 ⁄= 0))∨ ((X &A ⁄= 0) ∧(X &39 = 0))

тождественно истинно для всех натуральных $X$ , используем программный перебор. Идея заключается в том, чтобы проверить все значения $A$ от $1$ до $99$ . Для каждого $A$ перебираем все значения $X$ от $1$ до $100$ и проверяем выполнение логического выражения. Если хотя бы для одного $X$ выражение ложно, текущий $A$ отбрасываем. Если выражение истинно для всех $X$ , $A$ подходит. В конце перебора наибольшее найденное значение $A$ является ответом.

# перебор возможных значений A от 1 до 99
for a in range(1, 100):
    # переменная-флаг, которой присваивается 1, если хотя бы одно выражение ложно
    f = 0
    for x in range(1, 101):
        # проверка логического выражения для текущего X и A
        if ((((x & 13 != 0) or (x & a != 0)) <= (x & 13 != 0)) or ((x & a != 0) and (x & 39 == 0))) == False:
            f = 1
            break
    # если выражение истинно для всех X, выводим найденное наибольшее A
    if f == 0:
        print(a)

Ответ: 13

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 50#63015Максимум баллов за задание: 1

Определите наименьшее натуральное число A, такое что выражение

((x&28 $⁄=$ 0) $∨$ (x&45 $⁄=$ 0)) $→$ ((x&17 = 0) $→$ (x&A $⁄=$ 0))

тождественно истинно (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной x)?

Показать ответ и решение

Для нахождения наименьшего натурального числа $A$ , при котором выражение

((x&28 ⁄= 0)∨ (x &45 ⁄= 0)) → ((x&17 = 0) → (x&A ⁄= 0))

тождественно истинно для всех натуральных $x$ , используем программный перебор. Идея заключается в том, чтобы проверить все значения $A$ от $1$ до $299$ . Для каждого $A$ перебираем все значения $x$ от $1$ до $499$ и проверяем выполнение логического выражения. Если хотя бы для одного $x$ выражение ложно, текущий $A$ отбрасываем. Если выражение истинно для всех $x$ , $A$ подходит. В конце цикла минимальное найденное значение $A$ является ответом.

# перебор возможных значений A от 1 до 299
for a in range(1, 300):
    # переменная-флаг, которой присваивается 1, если хотя бы одно выражение ложно
    f = 0
    for x in range(1, 500):
        # проверка логического выражения для текущего x и A
        if (((x & 28 != 0) or (x & 45 != 0)) <= ((x & 17 == 0) <= (x & a != 0))) == False:
            f = 1
            break
    # если выражение истинно для всех x, выводим найденное минимальное A
    if f == 0:
        print(a)
        break

Ответ: 44

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 51#87941Максимум баллов за задание: 1

Введём выражение $m&k$ , обозначающее поразрядную конъюнкцию $m$ и $k$ (логическое «И» между соответствующими битами двоичной записи).

Определите наименьшее натуральное число A, такое что выражение

(x&15 ⁄= 0) → ((x&34 = 0) → (x&A ⁄= 0))

тождественно истинно (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной x)?

Показать ответ и решение

Для нахождения наименьшего натурального числа $A$ , при котором выражение

(x&15 ⁄= 0) → ((x&34 = 0) → (x&A ⁄= 0))

тождественно истинно для всех натуральных $x$ , используем программный перебор. Идея заключается в том, чтобы проверить все значения $A$ от $1$ до $999$ . Для каждого $A$ перебираем все значения $x$ от $1$ до $999$ и проверяем выполнение логического выражения. Если хотя бы для одного $x$ выражение ложно, текущий $A$ отбрасываем. Если выражение истинно для всех $x$ , $A$ подходит. В конце цикла минимальное найденное значение $A$ является ответом.

# перебор возможных значений A от 1 до 999
for a in range(1, 1000):
    # переменная-флаг, которой присваивается 1, если хотя бы одно выражение ложно
    c = 0
    for x in range(1, 1000):
        # проверка логического выражения для текущего x и A
        if ((x & 15 != 0) <= ((x & 34 == 0) <= (x & a != 0))) == False:
            c = 1
            break
    # если выражение истинно для всех x, выводим найденное минимальное A
    if c == 0:
        print(a)
        break

Ответ: 13

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 52#87942Максимум баллов за задание: 1

Определите наименьшее натуральное число $A$ , такое что выражение

(((x&10 = 0)∧ (x&5 ⁄= 0)) → (x&3 ⁄= 0))∨(x&A ⁄= 0)

тождественно истинно (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной $x$ )?

Показать ответ и решение

Для нахождения наименьшего натурального числа $A$ , при котором выражение

(((x&10 = 0)∧ (x&5 ⁄= 0)) → (x&3 ⁄= 0))∨(x&A ⁄= 0)

тождественно истинно для всех натуральных $x$ , используем программный перебор. Идея заключается в том, чтобы проверить все значения $A$ от $1$ до $999$ . Для каждого $A$ перебираем все значения $x$ от $1$ до $9999$ и проверяем выполнение логического выражения. Если хотя бы для одного $x$ выражение ложно, текущий $A$ отбрасываем. Если выражение истинно для всех $x$ , $A$ подходит. В конце цикла минимальное найденное значение $A$ является ответом.

# перебор возможных значений A от 1 до 999
for a in range(1, 1000):
    # переменная-флаг, которой присваивается 1, если хотя бы одно выражение ложно
    c = 0
    for x in range(1, 10000):
        # проверка логического выражения для текущего x и A
        if (((x & 10 == 0 and x & 5 != 0) <= (x & 3 != 0)) or (x & a != 0)) == False:
            c = 1
            break
    # если выражение истинно для всех x, выводим найденное минимальное A
    if c == 0:
        print(a)
        break

Ответ: 4