.03 Конечные вероятностные пространства. Условная вероятность. Формула полной вероятности.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Одним из свойств вероятности является следующее соотношение, верное для любых событий 
,
:
Задача: А как будет выглядеть аналогичная формула для объединения трёх событий? То есть, как
посчитать 
, зная по отдельности 
и всевозможные пересечения этих
трёх множеств?
Давайте для начала нарисуем картинку
Понятно, что чтобы посчитать вероятность объединения 
, нужно как минимум сложить
вероятности событий 
. То есть, начало формулы будет явно таким, поскольку их мы учесть
обязаны:
Но что же дальше? Ясно, что если мы так сложим вероятности, мы посчитаем вероятности
попарных пересечений дважды: мы дважды учтём 
(как часть 
и как часть 
),
дважды учтём 
(как часть 
и как часть 
) и дважды учтём 
(как часть
и как часть 
). Поэтому вероятности этих пересечений нужно отнять, чтобы не посчитать
их дважды. Значит, наша формула продолжается так:
Однако теперь заметим, что мы трижды посчитали сердцевину - вероятность тройного пересечения
- как часть 
, как часть 
и как часть 
.
Однако и отняли вероятность сердцевины мы тоже три раза - когда отнимали
. Значит, на данном этапе вероятность сердцевины у
нас вообще не посчитана, и её нужно добавить. Получается, что итоговая формула будет
такая:
Замечание 1. Эта формула называется формулой включений-исключений и,
разумеется, допускает обобщение на любое количество множеств.
Замечание 2. Разумеется, можно было доказать всё иначе, просто разбив наше
изначальное объединение 
на непересекающиеся части и сосчитав сумму их
вероятностей.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
