Тема 1. Геометрия на плоскости (планиметрия)

1.11 Квадрат и его свойства

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела геометрия на плоскости (планиметрия)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#23896

Сторона квадрата равна $√ - 10 2.$ Найдите диагональ этого квадрата.

$PIC$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Диагональ квадрата со стороной $a$ равна $√ - a 2,$ т.е. при $√- a = 10 2$ диагональ равна

√ - √- 10 2⋅ 2 = 20

Ответ: 20

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#68

В квадрате $ABCD$ расстояние от точки пересечения диагоналей до одной из его сторон равно 5. Найдите площадь этого квадрата.

$PIC$

Показать ответ и решение

Пусть $E$ — точка пересечения диагоналей квадрата $ABCD.$ В квадрате диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам, тогда имеем:

AE = ED, ∠DAE = ∠EDA

Так как квадрат является ромбом, то в квадрате диагонали делят углы пополам, то есть

∘ ∘ ∠DAE = 0,5⋅90 = 45 ∠AED = 180∘ − 45∘− 45∘ = 90∘

$PIC$

В треугольнике $ADE$ опустим из точки $E$ высоту $EF$ на сторону $AD.$ Тогда длина $EF$ и есть расстояние от точки $E$ до стороны квадрата. Так как $AE = ED,$ то $EF$ является и медианой. Но в прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы, тогда

EF = 0,5⋅AD

Аналогично остальные расстояния от точки $E$ до сторон квадрата равны половине стороны квадрата. Тогда $AD =10$ и площадь квадрата $ABCD$ равна 100.

Ответ: 100

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#541

Площадь треугольника $ABD$ равна 2. Найдите периметр квадрата $ABCD.$

$PIC$

Показать ответ и решение

Так как диагональ квадрата делит его на два равных треугольника, то

SABCD = 2⋅S△ABD = 2⋅2= 4

Пусть $x$ — сторона квадрата, тогда имеем:

x2 = 4 ⇒ x = 2

Отсюда периметр квадрата равен

PABCD = 4⋅x =4 ⋅2= 8

Ответ: 8

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#1418

Найдите площадь квадрата $ABCD,$ если $AC = 10.$

$PIC$

Показать ответ и решение

Так как $ABCD$ — квадрат, то $AD = CD.$ По теореме Пифагора в треугольнике $ACD$ имеем:

2 2 2 2 100 = AC = AD +CD = 2 ⋅AD

Тогда площадь квадрата $ABCD$ равна

2 SABCD = AD = 50

Ответ: 50

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#903

Сумма диагоналей квадрата равна $2√2.$ Найдите его периметр.

$PIC$

Показать ответ и решение

Если сумма диагоналей равна $2√2,$ а диагонали квадрата равны, то одна диагональ равна $√2.$ Т.к. диагональ квадрата в $√2$ раз больше стороны, то сторона равна $1,$ следовательно, периметр равен $4.$

Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#904

Площадь квадрата равна $1.$ Найдите его периметр.

Показать ответ и решение

$PIC$

Пусть $AB = x$ — сторона квадрата, тогда $x2 = 1,$ следовательно, $x= 1.$ Периметр квадрата равен $4⋅x= 4⋅1 = 4.$

Ответ: 4

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#1842

В квадрате $ABCD$ расстояние от середины $AB$ до середины $AD$ равно $3.$ Найдите площадь квадрата $ABCD.$

Показать ответ и решение

$PIC$

Отрезок $KL,$ соединяющий середины $AB$ и $AD$ , является средней линией в треугольнике $ABD,$ следовательно, $2⋅KL = BD.$ Значит, диагональ $BD = 6= AC.$ Тогда

1 SABCD = 2 ⋅6⋅6= 18

Ответ: 18

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#1843

Периметр четырехугольника, вершины которого являются серединами сторон квадрата равен $4√2.$ Найдите периметр квадрата.

Показать ответ и решение

$PIC$

Четырехугольник, вершины которого середины сторон квадрата, тоже является квадратом. Тогда сторона внутреннего квадрата равна $4√2-:4 =√2-$ и является средней линией в треугольнике, который отсекается соответствующей диагональю. Значит диагональ внешнего квадрата равна $2√2,$ следовательно, сторона внешнего квадрата равна $2.$ Тогда периметр равен $2 ⋅4 = 8.$

Ответ: 8

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#1859

Периметр треугольника $ABD$ равен $16 +8√2.$ Найдите периметр квадрата $ABCD.$

$PIC$

Показать ответ и решение

$PIC$

Если сторону квадрата обозначить за $x$ , то диагональ квадрата будет равна $√2x,$ тогда

√ - √- √- √- P△ABD = x+ x+ 2x = x⋅(2+ 2)= 16+ 8 2 = 8⋅(2+ 2) ⇒ x= 8

Тогда

PABCD = 4⋅x= 4⋅8 =32

Ответ: 32

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#1860

Площадь четырехугольника, вершины которого являются серединами сторон квадрата, равна $1.$ Найдите площадь квадрата.

Показать ответ и решение

$PIC$

Четырехугольник, вершины которого середины сторон квадрата, тоже является квадратом, диагонали которого равны сторонам исходного квадрата. Действительно, т.к. $△A ′BB ′ = △B ′CC ′ = △C ′DD ′ = △D ′AA′,$ то $A′B ′ = B′C′ = C′D′ = D ′A′,$ значит, $A ′B ′C′D′$ — ромб. Но $∠D′A′A= ∠B ′A ′B = 45∘,$ следовательно, $∠D′A′B′ = 180∘− 2⋅45∘ = 90∘,$ значит, $A′B′C′D′$ — квадрат.

1 ′ ′2 ′ ′2 SA ′B′C′D′ = 2A C = 1 ⇒ A C =2

Т.к. $′ ′ AC = AD,$ то

SABCD =AD2 =2

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#2201

Сумма диагоналей квадрата равна 4. Найдите площадь этого квадрата.

Показать ответ и решение

$PIC$

Если сумма диагоналей равна 4, а диагонали квадрата равны, то каждая диагональ равна 2. Так как квадрат является ромбом, то его площадь равна полупроизведению диагоналей. Тогда площадь квадрата равна