9.01 Задачи, требующие математической базы

Решение Excel:

Воспользуемся функциями =НАИБОЛЬШИЙ() и =НАИМЕНЬШИЙ(). Как они работает: подается массив и номер числа по убыванию. Так, в строке функция =НАИБОЛЬШИЙ(x:y; 1) выведет , а функция =НАИМЕНЬШИЙ(x:y; 1) выведет . В ячейку запишем формулу =ЕСЛИ(НАИБОЛЬШИЙ(A1:D1,1)< НАИМЕНЬШИЙ(A1:D1,1)+НАИМЕНЬШИЙ(A1:D1,2),1,0) и скопируем её во все ячейки диапазона . Считаем количество строк удовлетворяющих условию - =СУММ(E:E)

Решение программой:

f = open(’9.txt’, ’r’)
count = 0
for line in f:
    nums = list(map(int, line.split()))
    nums.sort()
    if nums[0] + nums[1] > nums[3]:
        count += 1
print(count)

Решение Excel:

Сначала проверим неравенство треугольника: каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон. Запишем в ячейку D1 формулу =ЕСЛИ(И(A1<B1+C1; B1<A1+C1; C1<A1+B1);1;0) - и скопируем ее на диапазон .

Затем проверим есть ли два одинаковых числа в строке. Запишем в ячейку E1 формулу - =ЕСЛИ(ИЛИ(A1=B1; A1=C1; B1=C1);1;0) и скопируем ее на диапазон .

Считаем количество строк удовлетворяющих 1 и 2 условию - =ЕСЛИ(И(D1=1;E1=1);1;0). Ответ =СУММ(F:F)

Решение программой:

f = open(’9.txt’, ’r’)
count = 0
for line in f:
    nums = list(map(int, line.split()))
    nums.sort()
    if nums[0] + nums[1] > nums[2] and (nums[0] == nums[1] or nums[0] == nums[2] or nums[1] == nums[2]):
        count += 1
print(count)

Решение Excel:

Расстояние от точки до точки можно найти по теореме Пифагора: . Запишем в ячейку C1 формулу =КОРЕНЬ(A1̂2 + B1̂2) - и скопируем ее на диапазон . Считаем максимальное значение в столбце C - =МАКС(С:С)

Решение программой:

f = open(’9.txt’, ’r’)
max_distance = 0
for line in f:
    x, y = map(int, line.split())
    distance = (x ** 2 + y ** 2) ** 0.5
    if distance > max_distance:
        max_distance = distance
print(int(max_distance))

Решение Excel:

Для нахождения количества параллелепипедов, удовлетворяющих условию, необходимо найти площадь наибольшей грани и сумму площадей двух других граней. То есть для каждой тройки чисел необходимо найти произведение двух наибольших чисел, а также сумму произведений наибольшего и наименьшего чисел, среднего по величине и наименьшего чисел.

В ячейку D1 запишем формулу =НАИБОЛЬШИЙ(A1:C1,1)*НАИБОЛЬШИЙ(A1:C1,2) и скопируем её во все ячейки диапазона D2:D5000. Таким образом, для каждой тройки чисел найдём произведение двух наибольших чисел.

В ячейку E1 запишем формулу =НАИБОЛЬШИЙ(A1:C1,1)*НАИМЕНЬШИЙ(A1:C1,1)+НАИБОЛЬШИЙ(A1:C1,2)*НАИМЕНЬШИЙ(A1:C1,1) и скопируем её во все ячейки диапазона E2:E5000. Таким образом, для каждой тройки чисел найдём сумму произведений наибольшего и наименьшего чисел и среднего по величине и наименьшего чисел.

Теперь в ячейке F1 запишем формулу =ЕСЛИ(D1<E1,1,0) и скопируем её во все ячейки диапазона F2:F5000. С помощью формулы =СУММ(F1:F5000) получим ответ — .

Решение программой:

f = open(’9.txt’, ’r’)
count = 0
for line in f:
    a, b, c = map(int, line.split())
    area1 = a * b
    area2 = b * c
    area3 = a * c
    if (area1 + area2 > area3) and (area1 + area3 > area2) and (area2 + area3 > area1):
        count += 1
print(count)

Решение Excel:

Для нахождения количества параллелепипедов, удовлетворяющих условию, необходимо найти площадь наибольшей грани и сумму площадей двух других граней. То есть для каждой тройки чисел необходимо найти произведение двух наибольших чисел, а также сумму произведений наибольшего и наименьшего чисел, среднего по величине и наименьшего чисел.

В ячейку D1 запишем формулу =НАИБОЛЬШИЙ(A1:C1,1)*НАИБОЛЬШИЙ(A1:C1,2) и скопируем её во все ячейки диапазона D2:D5000. Таким образом, для каждой тройки чисел найдём произведение двух наибольших чисел.

В ячейку E1 запишем формулу =НАИБОЛЬШИЙ(A1:C1,1)*НАИМЕНЬШИЙ(A1:C1,1)+НАИБОЛЬШИЙ(A1:C1,2)*НАИМЕНЬШИЙ(A1:C1,1) и скопируем её во все ячейки диапазона E2:E5000. Таким образом, для каждой тройки чисел найдём сумму произведений наибольшего и наименьшего чисел и среднего по величине и наименьшего чисел.

Теперь в ячейке F1 запишем формулу =ЕСЛИ(D1>E1,1,0) и скопируем её во все ячейки диапазона F2:F5000. С помощью формулы =СУММ(F1:F5000) получим ответ — .

Решение программой:

f = open(’9.txt’, ’r’)
count = 0
for line in f:
    a, b, c = map(int, line.split())
    area1 = a * b
    area2 = b * c
    area3 = a * c
    if (area1 + area2 < area3) or (area1 + area3 < area2) or (area2 + area3 < area1):
        count += 1
print(count)

Решение Excel:

Для того чтобы три отрезка могли составить остроугольный треугольник, необходимо чтобы выполнялось условие: длина любой стороны треугольника возведенная в квадрат меньше суммы квадратов длин двух его других сторон.

Запишем в ячейке D1 формулу для проверки этого условия:

Остается растянуть эту формулу на все строки, а затем посчитать сумму по столбцу D.

Решение программой:

f = open(’9.txt’, ’r’)
count = 0
for line in f:
    a, b, c = map(int, line.split())
    sides = sorted([a, b, c])
    if sides[0] + sides[1] > sides[2] and sides[2] ** 2 < sides[0] ** 2 + sides[1] ** 2:
        count += 1
print(count)

Решение Excel:

Неравенство треугольника будет заведомо выполнено для всех сторон треугольника, если длина наибольшей стороны треугольника будет меньше суммы длин других двух сторон. В ячейке D1 запишем формулу =МАКС(A1:C1) и скопируем её во все ячейки диапазона. В ячейке E1 запишем формулу =СУММ(A1:C1)-МАКС(A1:C1) и скопируем её во все ячейки диапазона. Таким образом, получим длину наибольшей стороны и сумму других двух сторон для каждой тройки чисел. После этого в ячейку F1 запишем формулу =ЕСЛИ(D1<E1;1;0) и скопируем её во все ячейки диапазона. Теперь, остается только посчитать сумму в столбце F.

Решение программой:

f = open(’9.txt’, ’r’)
count = 0
for line in f:
    a, b, c = map(int, line.split())
    if a + b > c and b + c > a and a + c > b:
        count += 1
print(count)

Решение Excel:

В столбце будем считать условие для периметра, в столбце D - условие для площади. В ячейку запишем формулу и растянем её вниз: ЕСЛИ. В ячейку запишем формулу и растянем её вниз: ЕСЛИ. Оба условия выполняются, если и в столбце С, и в столбце D стоит значение 1. Проверим это в столбце следующей формулой: ЕСЛИИ.

Осталось посчитать сумму единиц в столбце . Сделать это можно с помощью функции СУММ(). Получаем, что сумма равна 450.

Решение программой:

f = open(’9.txt’, ’r’)
count = 0
for line in f:
    a, b = map(int, line.split())
    if 2 * (a + b) > 2000 and a * b > 1500:
        count += 1
print(count)

Решение Excel:

В столбце D запишем минимальное из трёх чисел, в столбце E – среднее из трех чисел, а в столбце F – максимальное из трёх чисел.

Для этого в ячейку впишем формулу: , в ячейку – формулу: , а в ячейку – и растянем их до конца таблицы.

Для существования треугольника должно выполняться условие: сумма двух меньших сторон больше третьей.

В ячейку впишем формулу: и растянем её вниз.

Теперь осталось найти количество троек, для этого сбоку в любую ячейку впишем формулу: . Искомое количество – 2453.

Решение программой:

f = open(’9.txt’, ’r’)
count = 0
for line in f:
    a, b, c = map(int, line.split())
    if a + b > c and b + c > a and a + c > b:
        count += 1
print(count)

Решение Excel:

В столбце D запишем минимальное из трёх чисел, в столбце E – среднее из трех чисел, а в столбце F – максимальное из трёх чисел.

Для этого в ячейку впишем формулу: , в ячейку – формулу: , а в ячейку – и растянем их до конца таблицы.

Для того, чтобы найти является ли треугольник остроугольным, проверим два условия:

1. тройка чисел может образовывать треугольник, то есть сумма двух меньших сторон больше третьей;

2. сумма квадратов меньших сторон больше квадрата наибольшей стороны.

В ячейку впишем формулу: и растянем её вниз.

Теперь осталось найти количество троек, для этого сбоку в любую ячейку впишем формулу: . Искомое количество – 1315.

Решение программой:

f = open(’9.txt’, ’r’)
count = 0
for line in f:
    a, b, c = map(int, line.split())
    sides = sorted([a, b, c])
    if sides[2] ** 2 < sides[0] ** 2 + sides[1] ** 2:
        count += 1
print(count)

Решение Excel:

В столбце D запишем минимальное из трёх чисел, в столбце E – среднее из трех чисел, а в столбце F – максимальное из трёх чисел.

Для этого в ячейку впишем формулу: , в ячейку – формулу: , а в ячейку – и растянем их до конца таблицы.

Для того, чтобы найти является ли треугольник тупоугольным, проверим два условия:

1. тройка чисел может образовывать треугольник, то есть сумма двух меньших сторон больше третьей;

2. сумма квадратов меньших сторон меньше квадрата наибольшей стороны.

В ячейку впишем формулу: и растянем её вниз.

Теперь осталось найти количество троек, для этого сбоку в любую ячейку впишем формулу: . Искомое количество – 262.

Решение программой:

f = open(’9.txt’, ’r’)
count = 0

for line in f:
    a, b, c = map(int, line.split())
    sides = sorted([a, b, c])
    d, e, f = sides[0], sides[1], sides[2]
    if d + e > f and d ** 2 + e ** 2 < f ** 2:
        count += 1
print(count)

Решение Excel:

В столбце D будем проверять, может ли тройка чисел быть углами треугольника. Для этого в ячейку впишем формулу: .

В столбце E будем проверять, есть ли в тройке чисел равные углы. Если хотя бы два угла равны, то треугольник уже будет равнобедренный. Для этого в ячейку запишем формулу: .

В столбце F будем проверять выполнение обоих условий – наличие 1 в столбцах E и D. Для этого в ячейку впишем формулу: .

Теперь осталось найти количество троек, для этого сбоку в любую ячейку впишем формулу: . Искомое количество – 37.

Решение программой:

f = open(’9.txt’, ’r’)
count = 0

for line in f:
    a, b, c = map(int, line.split())
    angles = sorted([a, b, c])

    if sum(angles) == 180:
        if angles[0] == angles[1] or angles[1] == angles[2] or angles[0] == angles[2]:
            count += 1

print(count)

Решение Excel:

В столбце D будем проверять, может ли тройка чисел быть углами треугольника. Для этого в ячейку впишем формулу: .

В столбце E будем проверять, есть ли в тройке чисел угол, равный 90 градусов. Для этого в ячейку запишем формулу: .

В столбце F будем проверять выполнение обоих условий – наличие 1 в столбцах E и D. Для этого в ячейку впишем формулу: .

Теперь осталось найти количество троек, для этого сбоку в любую ячейку впишем формулу: . Искомое количество – 109.

Решение программой:

f = open(’9.txt’, ’r’)
count = 0

for line in f:
    a, b, c = map(int, line.split())

    if sum([a, b, c]) == 180 and 90 in [a, b, c]:
        count += 1

print(count)

Решение Excel:

Отсортируем числа в строках в порядке возрастания. Для этого в ячейки запишем формулы: соответственно.

Так как нам нужно найти равносторонний треугольник, а чисел всего четыре, то должны быть равны между собой либо первые три числа, либо последние три.

Поэтому, в ячейку запишем формулу:

.

В любую ячейку впишем формулу: для поиска количества строк. Искомое количество – 3.

Решение программой:

f = open(’9.txt’, ’r’)
count = 0
for line in f:
    nums = list(map(int, line.split()))
    nums.sort()
    if (nums[0] == nums[1] == nums[2]) or (nums[1] == nums[2] == nums[3]):
        count += 1

print(count)

Решение Excel:

Отсортируем числа в строках в порядке возрастания. Для этого в ячейки запишем формулы: =НАИМЕНЬШИЙ(A1:E1;2), соответственно и растянем до конца таблицы.

В столбце K будем проверять, является ли первая тройка чисел – сторонами равностороннего треугольника. В столбце L – является ли вторая тройка чисел – сторонами равностороннего треугольника. В столбце M – является ли третья тройка чисел – сторонами равностороннего треугольника

Поэтому, в ячейки запишем формулы: и растянем до конца таблицы.

Для того, чтобы было 2 и более равносторонних треугольника, сумма значений в столбцах должна быть больше или ровна 2. Поэтому в ячейку запишем формулу: и растянем до конца таблицы.

В любую ячейку впишем формулу: для поиска количества строк. Искомое количество – 7.

Решение программой:

f = open(’9.txt’, ’r’)
count = 0

for line in f:
    nums = list(map(int, line.split()))
    nums.sort()
    k = 1 if (nums[0] == nums[1] == nums[2]) else 0
    l = 1 if (nums[1] == nums[2] == nums[3]) else 0
    m = 1 if (nums[2] == nums[3] == nums[4]) else 0
    if k + l + m >= 2:
        count += 1

print(count)

Решение Excel:

В столбце D запишем минимальное из трёх чисел, в столбце E – среднее из трех чисел, а в столбце F – максимальное из трёх чисел.

Для этого в ячейку впишем формулу: , в ячейку – формулу: , а в ячейку – и растянем их до конца таблицы.

Для того, чтобы найти является ли треугольник прямоугольным, проверим два условия:

1. тройка чисел может образовывать треугольник, то есть сумма двух меньших сторон больше третьей;

2. сумма квадратов меньших сторон равна квадрату третьей.

В ячейку впишем формулу: и растянем её вниз.

Теперь осталось найти количество троек, для этого сбоку в любую ячейку впишем формулу: . Искомое количество – 450.

Решение программой:

f = open(’9.txt’, ’r’)
count = 0
for line in f:
    nums = list(map(int, line.split()))
    nums.sort()
    if nums[0] ** 2 + nums[1] ** 2 == nums[2] ** 2:
        count += 1
print(count)

Решение Excel:

Для того, чтобы тройки не являлись углами треугольника, их сумма должны быть больше или меньше 180 градусов.

В ячейку впишем формулу: и растянем её вниз.

Теперь осталось найти количество троек, для этого сбоку в любую ячейку впишем формулу: . Искомое количество – 2626.

Решение программой:

f = open(’9.txt’, ’r’)
count = 0

for line in f:
    nums = list(map(int, line.split()))
    if sum(nums) != 180:
        count += 1

print(count)

Решение Excel:

Для того, чтобы тройки являлись углами треугольника, их сумма должны быть равна 180 градусов.

В ячейку впишем формулу: и растянем её вниз.

Теперь осталось найти количество троек, для этого сбоку в любую ячейку впишем формулу: . Искомое количество – 32.

Решение программой:

f = open(’9.txt’, ’r’)
count = 0
for line in f:
    nums = list(map(int, line.split()))
    if sum(nums) == 180 and all(0 < angle < 180 for angle in nums):
        count += 1
print(count)

Решение Excel:

Сначала для каждой строки определим максимальное, минимальное и среднее число, для этого в ячейки D1, E1, F1 запишем формулы и растянем на все строки:

Теперь определим, может ли тройка чисел быть сторонами треугольника, для этого должно выполняться неравенство: наибольшая сторона меньше суммы двух оставшихся сторон. В ячейку G1 запишем формулу и растянем на все строки:

Остается проверить какие из треугольников являются прямоугольными, для этого должно выполняться равенство: квадрат наибольшей стороны равен сумме квадратов двух оставшихся сторон. В ячейку H1 запишем формулу и растянем на все строки:

Троек которые являются сторонами треугольника – 1962, прямоугольными – 10. Для того, чтобы найти процент итоговый процент выполним действие: . Так как ответ необходимо округлить до десятых, то ответ: 0,5.

Решение программой:

f = open(’9.txt’, ’r’)
total_triangles = 0
right_triangles = 0
for line in f:
    nums = list(map(int, line.split()))
    nums.sort()
    if nums[0] + nums[1] > nums[2]:
        total_triangles += 1
        if nums[0] ** 2 + nums[1] ** 2 == nums[2] ** 2:
            right_triangles += 1

if total_triangles > 0:
    percentage = (right_triangles / total_triangles) * 100
    print(f"{round(percentage, 1)}")
else:
    print("0")