.12 Несобственный интеграл Римана

Пусть . Доказать, что тогда значение интеграла

понимаемого в собственном смысле (как предел интегральных сумм)
и интеграла

понимаемого в несобственном смысле (т.е. как ) - совпадают.

То есть, если применить конструкцию несобственного интеграла II рода к интегрируемой по Риману на всём отрезке функции - то есть интегрируемой в обычном смысле, то несобственный интеграл в таком случае окажется равен собственному.

Это показывает, что наша конструкция несобственного интеграла действительно расширяет прежнее понятие интеграла Римана - в случае, если её применить к функциям, и так интегрируемым в прежнем смысле, мы получим то же самое.

Оговоримся, что аналогичное утверждение для несобственного интеграла I рода мы не формулируем силу того, что никакая функция не может быть интегрируема в старом смысле по бесконечному промежутку.