.12 Несобственный интеграл Римана

Во-первых, заметим, что при функция - знакопостоянна, так как там находится в пределах , а значит - в пределах . Значит, мы вправе применять все наши теоремы сравнения.

Во-первых, отметим, что при функция эквивалентна функции . Действительно, докажем это:

Следовательно, по следствию из теорем сравнения, так как при , то интегралы

и

сходятся или расходятся одновременно.

Однако при любом интеграл

по Ньютону-Лейбницу будет равен

То получаем, что

Последний предел легко вычислить по Лопиталю:

Следовательно, существует предел , а вслед за ним существует и несобственный интеграл , но а тогда существует и исходный интеграл , поскольку с интегралом они существует или не существуют одновременно.