.12 Несобственный интеграл Римана

Во-первых, заметим, что . Далее, давайте покажем, что при функция эквивалентна функции .

Действительно,

(Здесь в конце мы воспользовались тем, что при , а также вторым замечательным пределом при и непрерывностью корня ).

Таким образом, в силу неотрицательности всех функций там, где они определены, применимо следствие из теорем сравнение, говорящее, что раз

То интегралы

и

Сходятся или расходятся одновременно.

Однако в последнем интеграле можно сначала вынести за знак интеграла (поскольку это выражение не зависит от , по которому мы интегрируем), а затем для исследования

Воспользоваться заменой. А именно, при любом выполнено ():

А значит несобственный интеграл

cходится, потому что при существует предел у , поскольку существует предел у - этот интеграл эталонный и сходится при показателе в знаменателе меньше 1.