.12 Несобственный интеграл Римана
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Исследовать на сходимость (при всех 
) интеграл
Комментарий: Заметьте, что у этого интеграла две особенности. Одна связана с нижним пределам интегрирования, в окрестности которого знаменатель подынтегральной функции стремится к 0, а, значит, подынтегральная дробь неограничена. А другая связана с неограниченностью промежутка интегрирования. В таком случае исходный интеграл нужно разбить на сумму двух интегралов, каждый из которых имеет одну особенность, и исследовать сходимость каждого из них в отдельности. Исходный интеграл будет по определению сходящимся, когда сходящимися будут все интегралы, на которые мы его разбили.
Сделаем замену 
, 
, 
. Тогда будем иметь
У этого последнего интеграла две особенности - одна в нуле - там подынтегральная функция не определена и в окрестности нуля она неограничена а другая связана с неограниченностью отрезка интегрирования. Поэтому мы обязаны разбить наш несобственный интеграл на два (скажем, до 1 и после 1, но до и после какой точки - это не важно, главное чтобы после разбиения у каждого интеграла было по одной особенности):
И исходный интеграл будет сходится тогда и только тогда, когда будут сходится оба
1. Ясно, что при 
функция 
эквивалентна 
, а поэтому, в силу неотрицательности
всех имеющихся функций, применимо следствие из теоремы сравнения, говорящее, что интегралы
и 
сходятся или расходятся одновременно. Но интеграл 
- эталонный, и
сходится при 
.
2. При 
второй интеграл 
точно расходится, в силу того, что у функции 
числитель
при 
будет возрастать к бесконечности быстрее, чем знаменатель при любом 
.
Наоборот, если 
, то 
при 
убывает быстрее любой степенной функции, то есть,
например, при достаточно больших 
будет верно, что (если 
)
А значит 
А интеграл
сходится как эталонный.
Следовательно, оба 
и 
сходятся тогда, когда 
и 
.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
