.12 Несобственный интеграл Римана

Заметим, что при достаточно больших подынтегральная функция будет знакопостоянна (неотрицательна), в силу того, что главный член числителя равен , а главный член знаменателя равен и поэтому на у нас будут только положительные значения.

Следовательно, законно применение теорем сравнения.

Более того, отметим, что на луче несобственный интеграл имеет только одну особенность, а именно - это несобственный интеграл I рода с особенностью на бесконечности (наша функция ограничена в окрестности любой точки луча , поскольку знаменатель на этом луче всегда положителен, следовательно не обращается в ноль).

Поэтому можем разбить наш интеграл в сумму двух:

И первый из этих интегралов - собственный, т.к. он существует в смысле обычного определенного интеграла Римана (поскольку на отрезке подынтегральная функция - непрерывна). Таким образом, остается исследовать на сходимость интеграл

Далее, легко видеть, что

А несобственный интеграл

- сходится как эталонный с показателем . Следовательно, и наш исходный интеграл в силу теоремы сравнения в предельной форме тоже сходится.