.12 Несобственный интеграл Римана

1. Во-первых, раз - монотонна, то начиная с какого-то она будет знакопостоянна. То есть можно считать, что наш интеграл

- это интеграл от знакопостоянной функции. Будем для удобства считать, что - монотонно убывает и что .

(случай, когда монотонно возрастает, но при этом всегда меньше либо равна 0 рассматривается аналогично, а два других случая совсем очевидно невозможны, потому что мгновенно ведут к расходимости интеграла ).

Но тогда, утверждается, что при . Почему это так?

Допустим, что при . По определению это означает, что

Но тогда утверждается, что не только для этого одного выполнено, что , но и вообще для всех обязательно будет выполнено .

Действительно, если бы нашелся какой-то , для которого , то, в силу монотонного убывания получилось бы так, что и для всех было бы и мы бы получили противоречие с тем, что для любого найдется такой , что .

Таким образом, наша неотрицательная функция отделена от нуля некоторым положительным (начиная с момента ), а, значит, интеграл

что противоречит тому, что по условию он сходится.

Следовательно, все таки при .

2. Далее, в силу сходимости

по критерию Коши мы можем заключить, что

Давайте теперь фиксируем произвольное . Тогда для любого , поскольку на отрезке наша функция монотонно убывает, то выполнено, что , а потому

Таким образом, при фиксированном и при стремлении к мы получаем, что и левая часть, то есть

будет меньше любого произвольного , а, значит, будет стремиться к нулю. Таким образом, это означает, что

Однако

И, поскольку мы фиксировали , а про мы уже знаем, что она обязана стремиться к нулю при , то

и, следовательно, обязательно .

А это в точности и означает, что при