.01 Дискретные случайные величины. Мат. ожидание и дисперсия. Ковариация.

С одной стороны, можно взять в качестве элементарных исходов всевозможные попадания/непопадания в шерифа у каждого стрелка. Тогда наша будет состоять из исходов (если, допустим, обозначить за 0 промах, а за 1 - попадание, то будет упорядоченных наборов из нулей и единиц, каждый из которых обозначает то, попал или промазал каждый из 7 стрелков).

Но, если вспомнить формулу для мат. ожидания, то тогда станет ясно, что для вычисления мат. ожидания случайной величины, обозначающей количество попаданий в шерифа, придётся считать сумму из слагаемых, что уже не очень приятно.

А если подумать, что нам еще и всякий раз придётся по-новой рассчитывать вероятность каждого элементарного исхода, то есть исхода вида , где , то тогда будет очевидно, что так решать задачу точно не нужно. Эта сложность вычислений для данной задачи совершенно неоправданна.

Наоборот, давайте вспомним, что искомую случайную величину можно представить как сумму очень простых случайных величин.

Итак, во-первых, пусть - случайная величина, равная 1, если первый стрелок попал в шерифа и 0, если не попал, то есть, у определение такое:

Тогда ясно, что . То есть мат. ожидание равно просто вероятности того, что первый стрелок попадёт в шерифа.

Аналогично, пусть - случайная величина, равная 1, если второй стрелок попал в шерифа и 0, если не попал, то есть, определяется так:

Тогда ясно, что . То есть мат. ожидание , по аналогии, тоже равно вероятности того, что второй стрелок попадёт в шерифа.

Точно так же определим , где -ая случайная величина равна 1, если -ый стрелок попал и 0, если он промахнулся.

Ясно, что так же , , , , . Как это это помогает решить задачу?

А очень просто, теперь если мы обозначим за , то будет случайной величиной, как раз и обозначающей то, сколько пуль попало в шерифа. Следовательно, все что нам нужно, это найти . Но по свойству мат. ожидания:

Значит, в среднем в шерифа будет попадать пули.