.01 Дискретные случайные величины. Мат. ожидание и дисперсия. Ковариация.

1. Часть тогда. Пусть - константа, то есть для любого . Тогда по свойству мат. ожидания .

Но ясно, что если случайная - постоянна и всегда равна , то случайная величина - тоже постоянна и всегда равна . Следовательно, поскольку мат. ожидание константной случайной величины равно этой константе, . Но тогда по формуле для дисперсии:

2. Часть только тогда. Пусть . Но по определению . Пусть принимает значения с вероятностями (т.е. ). Тогда можно расписать:

Но у нас сумма из неотрицательных слагаемых, поэтому она может быть равна 0 если и только если все слагаемые в ней равны 0. То есть, имеем для любого :

Давайте считать, что все вероятности , потому что если какое-то , то оно просто не вносит вклада ни в мат. ожидание, ни в дисперсию, и его можно не писать. Таким образом, у нас получается для любого . Но значит и без квадрата для любого . То есть, для любого получается , то есть все значения, которые принимает - одинаковые, и все они равны . Таким образом, - константа, всегда равная своему мат. ожиданию.