.01 Дискретные случайные величины. Мат. ожидание и дисперсия. Ковариация.

Это неверно, поскольку ковариация далеко не полностью охватывает понятие обычной независимости величин, она гораздо слабее. Даже если ковариация оказалась равна 0, величины всё ещё могут быть сильно зависимы. Приведём пример.

Представим себе эксперимент с бросанием монетки. Допустим, - случайная величина, которая в случае орла выдаёт 1, а в случае решки выдаёт . Таким образом, .

Теперь возьмём случайную величину следующим образом: в случае орла выдаёт ноль, а в случае решки мы обязаны подбросить ещё одну монету, и если у второй монеты выпал орёл, выдаёт 1, а в случае решки у второй монеты выдаёт .

Уже из определения этих величин видно, что они очень зависимы - если я знаю, что приняла значение 0, то это могло быть только если в первоначальном броске выпал орёл, а значит если , то . То есть по значению одной величины мы можем легко восстановить, какое значения приняла другая. Теперь давайте формально проверим, что они зависимы.

Например, покажем, что

И это уже докажет их зависимость.

Но левая часть равна нулю, поскольку не может быть одновременно такого, что , а . Если , то это уже означает, что в первый раз выпала решка, а значит для мы должны подбросить вторую монету, и на второй монете 0 она уже не выдаёт никогда. Таким образом, .

С другой стороны, , . Таким образом,

Следовательно, и - зависимы.

Но при этом их ковариация нулевая. Докажем это.

По доказанной формуле: .

Давайте посчитаем сначала . Какие значения принимает произведение ? Оно может принять значение , если первая монетка выпала орлом. А если первая монетка выпала решкой, то может быть равно либо с вероятностью (если будет последовательность решка-орёл), либо с вероятностью (если будет последовательность решка-решка).

Следовательно,

В то же время ясно, что ;
.

Значит, .