Тема . Теория вероятностей и статистика

.01 Дискретные случайные величины. Мат. ожидание и дисперсия. Ковариация.

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела теория вероятностей и статистика

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#58414

a) Доказать, что если к какой-то из случайных величин добавить константу, то корреляция не поменяется, т.е. $corr(X,Y ) = corr(X + c,Y),$ где $c$ - произвольная константа.

b) Доказать, что если какую-то случайную величину умножить на положительную константу, то корреляция не поменяется, т.е. $corr(X, Y ) = corr(X, cY ),$ где $c ∈ ℝ$ - произвольная положительная константа. При этом, если $c$ - отрицательная константа, то корреляция поменяет знак.

c) Доказать, что корреляция случайной величины с собой равна единице, т.е. $corr(X, X ) = 1.$

Показать ответ и решение

a) Что такое коэффициент корреляции? Это дробь

cov(X, Y) E ((X − E(X ))⋅(Y − E (Y))) corr(X, Y) := ∘-----------------= ∘---------------2----------------2- Var(X )⋅V ar(Y ) E((X − E (X )) )⋅E ((Y − E (Y )) )

Посмотрим, как преобразуется числитель, то есть $cov(X,Y )$ при добавлении к $X$ константы $c$ : $cov(X + c,Y ) = E((X + c − E(X + c)) ⋅(Y − E(Y ))) =$
$= E )(X + c)Y − (X + c)E(Y )− E (X + c)Y + E (X + c)E(Y )) = E (XY + cY − XE (Y )− cE (Y) − E(X )Y − Y E(c)+ E(X )E(Y )+ E (c)E (Y ))$ .

Далее, с учётом того мат.ожидание константы равно константе, и после взятия матожидания от всей суммы видим, что все слагаемые, содержащие $c$ , сокращается и остаётся выражение $E (XY ) − EXEY$ , равное $cov(X, Y)$ .

А в знаменателе дроби корреляции стоит корень из произведения дисперсий. Что происходит с дисперсией при добавлении константы?

V ar(X+c ) = E ((X+c − E(X+c ))2) = E((X+c − EX − Ec )2) = E ((X+c − EX − c)2) = E((X − EX )2) = V arX

То есть дисперсия при добавлении константы не меняется. Следовательно, при добавлении константы не изменится ни числитель, ни знаменатель дроби $corr(X, Y ) := √-cov(X,Y)---- Var(X )⋅Var(Y )$ . То есть не изменится корреляция двух величин не изменится, если к одной из них добавить любую произвольную константу.

b) Проследим вновь отдельно за числителем и знаменателем дроби

cov(X,Y ) E ((X − E(X ))⋅(Y − E (Y))) corr(X,Y ) := ∘---------------- = ∘---------------2---------------2-. V ar(X )⋅V ar(Y) E ((X − E (X )) )⋅E ((Y − E(Y )))

Как меняется числитель?
$cov(X, cY) = E ((X − E (X ))⋅(cY − E (cY))) = E((X − E (X ))⋅(cY − cE(Y ))) = E ((X − E(X ))⋅c(Y − E (Y))) =$
$= cE ((X − E(X ))⋅(Y − E (Y))) = c⋅cov(X,Y )$ . То есть числитель умножается на $c$ . Как меняется знаменатель? В знаменателе первый сомножитель очевидно не меняется. А второй сомножитель: $∘ -------- ∘ --------- ∘ -------- V ar(cY ) = c2V ar(Y) = |c| V ar(Y)$ . Таким образом, имеем: $corr(X, cY ) = |cc|cor(X, Y)$ .

Поэтому если $c > 0$ , то она просто сократится и $corr(X, Y)$ не поменяется, а если $c < 0$ , то $corr(X, Y)$ сменит знак.

c) $----cov(X,X)--- E((X−E-(X-))⋅(X-−E(X))) E-((X−-E[X-])2) V-ar(X) corr(X, X ) := √V-ar(X)⋅V-ar(X) = Var(X ) = Var(X ) = V ar(X) = 1$ .

Ответ:

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

.01 Дискретные случайные величины. Мат. ожидание и дисперсия. Ковариация.

Специальные программы

Программалояльности v2.0

Крути рулеткуи выигрывай призы!

Бесплатное онлайн-обучение

Налоговые вычеты

Специальное предложениедля учителей

Вернём деньги за курсза твою сотку на ЕГЭ

Программалояльности v2.0

Крути рулеткуи выигрывай призы!

Бесплатное онлайн-обучение

Налоговые вычеты

Специальное предложениедля учителей

Вернём деньги за курсза твою сотку на ЕГЭ

Программа
лояльности v2.0

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Программа
лояльности v2.0

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ