.01 Дискретные случайные величины. Мат. ожидание и дисперсия. Ковариация.

a) Допустим

, а случайная величина определена так:

Тогда

И естественно этот ряд расходится, поэтому мат. ожидания у не существует.

Если - случайная величина, определенная на том же вероятностном пространстве, но

То очевидно по тем же соображениям, что у тоже не существует мат. ожидания.

Однако у их суммы мат. ожидание существует, потому что - это тождественно нулевая случайная величина, так что

b) Нам дано, что существуют оба и .

Пусть . Тогда нам дано, что сходятся абсолютно следующие ряды:

Покажем, что тогда и ряд

сходится абсолютно Действительно, если взять ую частичную сумму его модулей:

То по неравенству треугольника:

Но значение меньше какого-то для любого (поскольку нам дано, что ряд сходится абсолютно, то есть ряд сходится. А для ряда с неотрицательными членами мы применяем критерий сходимости ряда с неотриц. членами и из его сходимости выводим, что последовательность его частичных сумм ограничена сверху некоторым ).

Аналогично, значение меньше какого-то при любом .

Следовательно,

Следовательно, последовательность частичных сумм ряда

ограничена сверху. Следовательно, ряд

сходится абсолютно.

Но, заметим, что

То есть мы сейчас доказали, что сходится абсолютно тот ряд, который и равен . Таким образом, мы доказали, что если у и у существовали мат. ожидания, то и у их суммы тоже будет существовать мат. ожидание.

(на языке рядов мы доказали сейчас то, что почленная сумма двух абсолютно сходящихся рядов тоже сходится абсолютно).

Нам осталось доказать лишь то, что .

Но это следует из общего факта про ряды:

ФАкт из теории рядов. Пусть ряд - сходится. Пусть ряд - сходится.

Тогда если , , то .

Доказательство.
То, что ряд сходится, по определению означает, что имеет предел последовательность его частичных сумм

Причём нам дано, что

Так как .

Аналогично, тот факт, что ряд сходится, по определению означает, что имеет предел последовательность его частичных сумм

Причём нам дано, что

Далее, ясно, что для суммы рядов и последовательность частичных сумм будет иметь вид

Но поскольку

то по теореме о сумме пределов,

А это по определению означает, что ряд

сходится, причём его сумма равна .

Отсюда и следует факт про аддитивность мат. ожиданий в бесконечном случае.