.01 Дискретные случайные величины. Мат. ожидание и дисперсия. Ковариация.

Пусть - случайная величина, равная числу занятых ячеек. Посчитать в явном виде вероятности того, что здесь будет невероятно трудно (например, если , то, допустим, какая вероятность того, что разбрасывая шаров в итоге 50 ячеек останутся свободными? Перебрать все эти варианты и поделить на количество всех вариантов будет, даже пользуясь всей мыслимой и немыслимой комбинаторикой, близко к невозможному, ну или по крайней мере к нежелаемому).

А ведь именно эти вероятности нам и нужно было бы посчитать, если бы мы хотели вычислить по определению. Потому что .

Но мы, разумеется, поступим иначе. Введем вспомогательные случайные величины , где определяется так:

Тогда, ясно, что, например,

А как посчитать ?

Тут мы вновь прибегнем к уже избитому и знакомому нам трюку, который здесь тоже все сильно облегчает:

Ну а вероятность того, что первая ячейка свободна, посчитать уже легко.

Это означает, что все шаров отправлялись в любые ячейки, кроме первой.

Вероятность того, что первый шар попадает в любую ячейку, кроме первой, равна . Вероятность того, что второй шар попадает в любую ячейку, кроме первой, тоже равна . Поскольку шары кидаются, очевидно, независимо, то вероятность того, что все шаров попадут в любую ячейку, кроме первой, равна произведению .

Таким образом,

Следовательно,

Абсолютно аналогично получаем и то, что для любого

Следовательно, в силу аддитивности мат. ожидания