.03 Однородные уравнения

Видно, что это уравнение действительно однородное, поскольку при домножении и на одно и то же число , оно в числителе и в знаменателе вынесется в квадрате, и, значит, просто сократится. То есть оно однородное для - при домножении на это выносится в нулевой степени из всего уравнения.

Таким образом, делаем замену , то есть , тогда , и мы будем иметь:

Теперь, осталось разделить переменные, поделив обе части на и на :

Интегрируя, получаем:

И возвращаясь к переменной , имеем:

Переменную как функцию мы здесь явно не выразим, поэтому оставим ответ в таком виде. Мы делили на , поэтому предполагаем теперь, что . Кроме того, мы делили на и поэтому могли потерять решение .

Нетрудно видеть, что - тоже будет решением, поскольку левая часть исходного уравнения зануляется, как производная константы, а правая часть зануляется из-за того, что там входит в числитель как множитель. Таким образом, можем окончательно записать ответ: