.02 Линейные уравнения и уравнения Бернулли

При решении линейного уравнения вида

надо сначала решить исходное уравнение с нулевой правой частью.

1. Сначала решим уравнение

Иначе

Нетрудно видеть, что это уравнение с разделяющимися переменными. Давайте поделим на , поделим на и умножим на :

Интегрируем, и получаем:

И, таким образом, , где - новое обозначение для произвольной постоянной.

2. Далее, по методу варьирования постоянной, мы должны вместо записать неизвестную функцию , и подставить выражение в исходное диф. уравнение, чтобы найти эту функцию . Итак, подставляя в исходное уравнение , имеем:

Таким образом, после сокращения:

То есть , то есть , - любая постоянная. Следовательно,

- общее решение нашего исходного уравнения. При этом в процессе решения мы делили на , то есть мы предполагаем, что , а также мы делили на , то есть надо проверить, не будет ли функция решением нашего диф. уравнения .

Очевидно, не будет, потому что левая часть тогда зануляется, из-за того, что производная константы равна 0, а правая часть остаётся. Значит, ответ: