.02 Линейные уравнения и уравнения Бернулли

Для начала, у нас тут вообще нет никакой производной искомой функции . Но если продифференцировать обе части уравнения, и вспомнить, что производная интеграла с переменным верхним пределом равна значению подынтегральной функции в точке, где мы берем производную, то получим после дифференцирования:

Или

Это - линейное уравнение вида . Поэтому нам надо сначала решить исходное уравнение с нулевой правой частью.

1. Сначала решим .

Таким образом, , .

2. Далее, мы должны по методу варьирования постоянной вместо записать и подставить решение в исходное уравнение . Получим:

После сокращения, получаем: . Таким образом, . Следовательно, общее решение исходного дифференциального уравнения есть

Далее, из исходного уравнения получаем, что , таким образом, при , следовательно . Значит, мы можем записать в итоге ответ:

Заметим, что мы при этом не потеряли решение, хотя и делели на в процессе, поскольку константная функция не является решением исходного уравнения

- левая часть обнуляется, интеграл справа берется от нуля, то есть тоже обнуляется, а вот остаётся.