.30 Экстремумы функций многих переменных. Условные экстремумы и множители Лагранжа.

1. Сначала найдем кандидатов на экстремум. Поскольку наша функция , очевидно, всюду дифференцируема, кандидаты на экстремум - это те точки, в которых все её частные производные равны нулю. Получаем систему уравнений

Её решениями будут являться две критические точки: и .

2. Исследуем на экстремум функцию в точке по достаточному условию. Для этого необходимо вычислить её второй дифференциал. Коэффициенты квадратичной формы - это всевозможные вторые частные производные функции в этой точке. Вычислим их:

Таким образом, в точке получаем такую матрицу второго дифференциала, то есть матрицу квадратичной формы :

И поскольку у этой матрицы есть отрицательный угловой минор четного порядка (а именно, порядка 2), то по критерию Сильвестра - знакопеременна. Таким образом, делаем вывод, что - это не экстремум.

Теперь исследуем нашу функцию на экстремум в точке . В этой точке матрица будет:

И мы видим, что все угловые миноры положительны. Следовательно, квадратичная форма - положительно определена. Таким образом, - это локальный минимум функции .