.30 Экстремумы функций многих переменных. Условные экстремумы и множители Лагранжа.

Заметим, что наша функция всюду дифференцируема сколько угодно раз. Таким образом, все её критические точки будут точками, в которых все её частные производные равны нулю.

1. Сначала найдём кандидатов на экстремум, то есть такие точки, в которых обе частные производные функции равны 0. То есть, надо решить систему:

В данном случае получается система

Первое уравнение преобразуется в , и в силу того, что экспонента никогда не равна 0, получается уравнение .

Из второго уравнения, опять же, в силу того, что экспонента никогда не равна нулю, следует, что . Тогда из того, что , получаем, что . Таким образом, единственная подозрительная точка на экстремум - это .

2. Проверим эту точку по достаточному условию экстремума. Составим гессиан в точке (матрицу вторых частных производных в точке )

В нашем случае получается такая матрица:

Таким образом, поскольку и , по критерию Сильвестра гессиан в точке положительно определен, следовательно, - точка локального минимума.