.30 Экстремумы функций многих переменных. Условные экстремумы и множители Лагранжа.

Заметим, что наша функция представляет из себя многочлен от двух переменных, то есть она всюду дифференцируема сколько угодно раз. Таким образом, все её критические точки будут точками, в которых все её частные производные равны нулю.

1. Сначала найдём кандидатов на экстремум, то есть такие точки, в которых обе частные производные функции равны 0. То есть, надо решить систему:

В данном случае получается система

Из второго уравнения с учётом того, что получается, что , то есть равен либо 0, либо 1, а тогда из того, что , получаем, что . Таким образом, имеем двух кандидатов на экстремум: и .

2. Проверим эти точки по достаточному условию экстремума. Составим гессианы:

В нашем случае получаются такие матрицы:

То что они в обеих точках получились одинаковые - это лишь совпадение, конечно, могли получиться и разные матрицы. Но хотя гессианы и в точке и в точке получились одинаковые - радоваться тут мало чему, ведь это не сокращает нам работы а только добавляет. Действительно, , а значит ни в случае , ни в случае не применим критерий Сильвестра. Более того, видно, что форма, задаваемая матрицей не будет знакопеременной. Действительно, если выписать эту форму явно, то это будет вот такая форма от двух переменных:

То есть эта форма незнакопеременна (она не умеет принимать на разных векторах значения разных знаков). Но при этом она и не положительно определена, потому что даже на ненулевых направлениях (когда ) она будет равна нулю. А поэтому в окрестности и требуется непосредственное исследование поведения функции.

3. Непосредственное исследование для точки . . Однако если стремиться к точке вдоль луча , где , то . Если же стремиться к точке по направлению , то и при получим, что . Таким образом, в произвольной сколь угодно малой окрестности точки есть как точки, в которых больше нуля, как и точки, где меньше нуля. В то время как в самой точке значение функции равно нулю. Следовательно, точка не является локальным экстремумом.

4. Непосредственное исследование для точки . . Но нетрудно видеть, что в любой другой точке, отличной от функция строго больше - ведь имеет вид суммы четных степеней из которой вычетается единица. Ясно, что в любой точке, в которой сумма четных степеней не равна нулю, будет строго больше . Но только в точке . Таким образом, - локальный минимум функции .