.30 Экстремумы функций многих переменных. Условные экстремумы и множители Лагранжа.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Доказать следующую теорему:
Многомерное необходимое условие локального экстремума.
Пусть функция 
имеет в точке 
все частные производные. Тогда, если 
-
локальный экстремум функции 
, то обязательно все её частные производные в этой
точке равны 0. То есть
Проведем доказательство того, что обязательно должно быть 
. По остальным переменным
доказательство будет аналогичным.
Пусть точка 
имеет координаты 
Рассмотрим вспомогательную функцию 
. То есть мы фиксировали все
переменные, кроме первой, в точке 
у функции 
, и тогда получилась функция одного переменного
.
Ясно, что раз 
имела экстремум в точке 
, то 
будет иметь экстремум в точке 
.
Но по одномерной лемме Ферма для 
получаем, что 
.
Далее, поскольку 
, то имеем и 
.
Для частных производных по остальным переменным проверяется аналогично.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
