.30 Экстремумы функций многих переменных. Условные экстремумы и множители Лагранжа.

1. Составим функцию Лагранжа:

Далее, необходимое условие того, что точка является условным локальным экстремумом функции :

Таким образом, получаем следующую систему уравнений:

Получаем 2 кандидата на условный локальный экстремум:

2. Проверим достаточное условие экстремума.

Гессиан функции Лагранжа в точке имеет вид:

Подставим в гессиан первого кандидата :

Его главные миноры .

Мы не попали ни в случай положительной определенности, ни в случай отрицательной определенности.

Значит, требуется дополнительное исследование с учетом условий связи.

Итак, выпишем явно второй дифференциал функции Лагранжа в точке :

Наше уравнение связи:

Продифференцируем его:

То есть . А в точке получается

то есть

Подставим это соотношение во второй дифференциал:

Получается, что в этой точке с учетом уравнения связи второй дифференциал функции Лагранжа отрицательно определен. Следовательно, точка - точка условного локального максимума функции .

Проверим теперь второго кандидата - точку .

Подставим её в гессиан функции Лагранжа:

Его главные миноры

Мы не попали ни в случай положительной определенности, ни в случай отрицательной определенности.

Значит, требуется дополнительное исследование с учетом условий связи.

Итак, выпишем явно второй дифференциал функции Лагранжа в точке :

Наше уравнение связи:

Продифференцируем его:

То есть . А в точке получается

то есть

Подставим это соотношение во второй дифференциал:

Получается, что в этой точке с учетом уравнения связи второй дифференциал функции Лагранжа положительно определен. Следовательно, точка - точка условного локального минимума функции .