.30 Экстремумы функций многих переменных. Условные экстремумы и множители Лагранжа.

1. Составим функцию Лагранжа:

Далее, необходимое условие того, что точка является условным локальным экстремумом функции :

Таким образом, получаем следующую систему уравнений:

Поскольку мы исследуем лишь при положительных , единственным решением системы при таких ограничениях будет набор .

Выясним теперь по достаточному условию, является ли точка условным локальным экстремумом функции .

В этой точке гессиан функции Лагранжа равен

Его главные миноры

Дальше проверять не имеет смысла, потому что уже второй главный минор получился вырожден, и критерий Сильвестра неприменим.

Выпишем явно второй дифференциал функции Лагранжа в точке с учетом условий связи.

У нас два условия связи:

Дифференцируя их, получим:

В точке получаем

Следовательно, .

Получаем в итоге:

И видно, что с учетом уравнений связи второй дифференциал функции Лагранжа отрицательно определен. Следовательно, точка - точка локального максимума функции .