.30 Экстремумы функций многих переменных. Условные экстремумы и множители Лагранжа.

1. Составим функцию Лагранжа:

Далее, необходимое условие того, что точка является условным локальным экстремумом функции :

Таким образом, получаем следующую систему уравнений:

Если не рассматривать случаи, когда (а их нет смысла рассматривать, потому что тогда функция Лагранжа превращается в саму функцию и мы исследуем просто саму функцию без учета уравнений связи, что нам сейчас не интересно. Но при желании и такое исследование можно провести), то мы получаем одно единственное решение данной системы - набор Выясним, является ли точка условным локальным экстремумом функции .

Вычислим гессиан в общем виде:

В этой точке гессиан функции Лагранжа равен

Первый же главный минор равен нулю, поэтому критерий Сильвестра неприменим.

Второй дифференциал функции Лагранжа в этой точке будет равен

С учетом уравнения связи , то есть получим и поэтому

Какая же у нас получилась квадратичная форма с учетом уравнения связи? Она имеет матрицу

И видно, и поэтому второй дифференциал функции Лагранжа в точке с учетом уравнения связи отрицательно определен по критерию Сильвестра. Следовательно, точка - точка условного локального максимума функции .