03 Высказывания про треугольники

Медиана треугольника делит пополам сторону, к которой проведена, поэтому это неверное утверждение.

Биссектриса треугольника делит пополам угол, из вершины которого проведена., поэтому это неверное утверждение.

Центр вписанной окружности равноудален от сторон треугольника:

Значит, точка лежит на биссектрисах углов и Так как биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, то центр вписанной окружности — точка пересечения биссектрис треугольника, поэтому это верное утверждение.

Пусть — точка пересечения серединных перпендикуляров треугольника

Любая точка, лежащая на серединном перпендикуляре отрезка, равноудалена от концов этого отрезка, поэтому:

Тогда то есть точка — центр окружности, описанной около треугольника Значит, это верное утверждение.

Центр описанной около прямоугольного треугольника окружности — середина гипотенузы, а центр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника. Значит, это неверное утверждение.

Центр вписанной окружности треугольника — точка пересечения его биссектрис. Центр описанной окружности треугольника — точка пересечения серединных перпендикуляров. В равностороннем треугольнике биссектрисы являются и серединными перпендикулярами, а значит точка пересечения биссектрис совпадает с точкой пересечения серединных перпендикуляров. Таким образом, в равностороннем треугольнике центры вписанной и описанной окружностей совпадают, поэтому это верное утверждение.

В равностороннем треугольнике все высоты равны.

Докажем это утверждение для двух высот равностороннего треугольника. Рассмотрим треугольники и В них — общий, Тогда треугольники и равны по острому углу и катету, следовательно,

Таким образом, это верное утверждение.

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой. Биссектриса, проведённая к боковой стороне, является высотой только в равностороннем треугольнике. Значит, это неверное утверждение.

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой. Биссектриса, проведенная к боковой стороне, является медианой только в равностороннем треугольнике. Значит, это неверное утверждение.

В равностороннем треугольнике все углы равны Значит, все равносторонние треугольники подобны по двум углам, поэтому это верное утверждение.

Равнобедренные треугольники подобны, если углы при основании равны, поэтому это неверное утверждение.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Докажем это утверждение. Запишем формулу площади треугольника через синус угла:

Значит, это неверное утверждение.

Это первый признак подобия треугольников, поэтому это верное утверждение.

Верно следующее утверждение: если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны. Таким образом, недостаточно равенства двух углов, необходимо равенство углов между равными сторонами, поэтому это неверное утверждение.

Верно следующее утверждение: если две стороны одного треугольника и угол между ними соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны. В данном случае не хватает равенства углов между равными сторонами, поэтому это неверное утверждение.

Если три угла одного треугольника равны соответственно трём углам другого треугольника, то такие треугольники подобны. Для равенства треугольников не хватает равенства сторон, поэтому это неверное утверждение.