.06 Знакочередующиеся и знакопеременные ряды. Признак Лейбница. Признаки Абеля и Дирихле.

1. Итак, пусть - частичная сумма ряда . - частичная сумма для ряда , а поскольку нам дано, что ряд - сходится абсолютно, то это и означает, что ряд - сходится, то есть - имеет предел.

Но так как - ряд из неотрицательных слагаемых, то - имеет предел в том и только в том случае, если она ограничена. А раз так, то она ограничена. На самом деле, конечно, ограничена, например, суммой ряда . Обозначим её за . Таким образом, для любого .

Теперь нам надо доказать, что ряд - сходится. Это по определению значит, что имеет предел. А ряд - из неотрицательных слагаемых, поэтому достаточно показать, что - ограничена сверху.

Итак, пусть первые положительных слагаемых исходного ряда содержатся среди первых его слагаемых. (Ясно, что .) Тогда ясно, что

Следовательно, последовательность - ограничена сверху. А это и значит, что ряд - сходится.

2. Абсолютно полностью аналогично пункту 1.

3. Возьмем теперь членов ряда и пусть среди них окажется положительных и отрицательных. Тогда ясно, что

Тогда очевидно, что при будет и и (в противном случае бы оказалось, что в исходном ряде положительных или отрицательных слагаемых лишь конечное число, и тогда доказывать было бы нечего - тогда его сходимость была бы равносильна его абсолютной сходимости и утверждение задачи стало бы тривиально).

Тогда перейдем в этом последнем равенстве к пределу при . Тогда получим

Что и требовалось доказать.