.06 Знакочередующиеся и знакопеременные ряды. Признак Лейбница. Признаки Абеля и Дирихле.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Пусть 
- сходящийся (быть может и неабсолютно) ряд, причем сходится он к 
.
Пусть 
- биекция натуральных чисел на себя, но не произвольная, а обладающая таким
свойством, что для любого 
То есть никакое натуральное число при перестановке 
не убегает от своего начального положения
дальше, чем на 1000.
Доказать, что тогда переставленный ряд
- тоже сходится и тоже к 
.
Пусть 
- последовательность частичных сумм исходного ряда, а 
- последовательность
частичных сумм в переставленном ряду.
По условию нам известно, что 
сходится к 
. Это значит, что для любого 
найдется такое
, что при всех 
выполнено
Тогда ясно, что если рассмотреть при 
- 
ую частичную сумму переставленного ряда,
то каждое слагаемое в ней обязательно будет среди первых 
слагаемых исходного ряда,
то есть каждое слагаемое в 
содержится среди слагаемых в 
. Таким образом,
имеем
Но ясно, что при 
номера тех 
, которые входят в 
, но не входят в 
,
неограничено растут.
Поэтому сумма
стремится к нулю, ведь она состоит из 1000 слагаемых, каждое из которых стремится
к нулю, поскольку нам дано, что исходный ряд 
- сходится, а, значит, 
.
Таким образом,
может быть сделана сколь угодно близка к 
, что и доказывает наше утверждение.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
