.06 Знакочередующиеся и знакопеременные ряды. Признак Лейбница. Признаки Абеля и Дирихле.

Докажем, что можно устроить такую перестановку условно сходящегося ряда, чтобы после перестановки он расходился к . Будем рассуждать в обозначениях доказательства теоремы Римана с вебинара.

Ясно, что все еще ряды, составленные из положительных членов ряда и модулей отрицательных членов ряда , то есть ряд и соответственно - расходятся (оба, разумеется, к ). Но однако при этом так, что .

Тогда будем так переставлять члены исходного ряда. Наберем сначала первую группу положительных слагаемых так, чтобы в первый раз . Это можно сделать, поскольку ряд расходится к , как уже было замечено выше.

Затем поместим лишь одно отрицательное слагаемое .

Затем наберем следующую группу положительных слагаемых так, чтобы в первый раз

(И это вновь можно сделать по той же причине, что ) Затем поместим следующее, но лишь одно отрицательное слагаемое . И так далее...

Ясно, что каждый раз мы набираем группу из положительных слагаемых так, чтобы очередная частичная сумма ряда была больше следующего натурального числа, а вот добавление нового отрицательного слагаемого будет давать все меньший и меньший вклад, коль скоро . Поэтому ясно, что частичные суммы ряда

Будут стремиться к . Но ясно, что и после опускания скобок они тоже будут стремиться к , поскольку сработает точно такое же доказательство, как в утверждении о том, что сходимость и даже сумма ряда при снятии скобок не меняется, если все слагаемые в каждых скобках имеют один и тот же знак (в нашем случае у нас в каждый больших скобках все слагаемые положительны, и они чередуются со скобками из одного отрицательного слагаемого).

Таким образом и огранизуется перестановка исходного ряда такая, чтобы он стал расходиться к .