.06 Знакочередующиеся и знакопеременные ряды. Признак Лейбница. Признаки Абеля и Дирихле.

Ясно, что этот ряд сходится - по признаку Лейбница. Более того, ясно, что эта сходимость условная, поскольку если навесить модули на члены ряда, то он разойдется, потому что будет вести себя как гармонический ряд.

Следовательно, применима теорема Римана.

Переставим его члены следующим образом. В данный момент его члены знакочередующиеся - он начинается с положительного члена, за которым следует один отрицательный член, за которым вновь следует положительный, и так далее...
Совершим же следующую перестановку: сделаем так, чтобы после каждого положительного слагаемого следовало два отрицательных. То есть:

Так вот после такой перестановки сумма исходного ряда уменьшится вдвое. Почему? Пусть - последовательность частичных сумм исходного ряда, а - переставленного. Тогда посчитаем частичную сумму переставленного ряда, количество слагаемых в которой кратно трем (то есть в которой все слагаемые как раз таки и разбиваются на группы из одного положительного и двух отрицательных)

Но ведь это последнее - это ведь не что иное, как - то есть частичная сумма исходного ряда, в которой четное число слагаемых - по парам из положительного и следующего за ним отрицательного.

Таким образом, будем иметь, что

И при , поскольку исходный ряд сходится к некоторому числу , то мы получим, что

То есть частичные суммы переставленного ряда, если в них брать количества слагаемых кратное трем, действительно стремятся к половине от суммы исходного ряда. А что же происходит с остальными частичными суммами переставленного ряда?

Ясно, что

и при будем иметь

Аналогично,

и при будем иметь

Значит, любые частичные суммы переставленного ряда будут стремиться к , где - сумма исходного ряда. Значит, мы нашли требуемую перестановку.