.06 Знакочередующиеся и знакопеременные ряды. Признак Лейбница. Признаки Абеля и Дирихле.

Во-первых, заметим, что , поэтому для доказательства сходимости исходного ряда достаточно доказать сходимость двух рядов:

и

Тогда наш исходный ряд

будет сходящимся как сумма сходящихся рядов.

1. Ряд

сходится по признаку Лейбница, поскольку он знакочередующийся и монотонно убывая стремится к нулю.

2. Ряд

представим в виде

где , . Тогда монотонно стремится к нулю, а частичные суммы ограничены, поскольку

Следовательно, ряд

сходится по признаку Дирихле. А значит и наш исходный ряд сходится.